- 抛物线的标准方程和几何性质
- 共238题
已知抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是 。
正确答案
±4
解析
根据抛物线的定义可知P到焦点的距离为5，则其到准线距离也为5。
又∵抛物线的准线为y=﹣1，
∴P点的纵坐标为5﹣1=4。
将y=4 代入抛物线方程得：4×4=x2，解得x=±4
故答案为：±4。
知识点
已知点
正确答案
解析
略
知识点
曲线
正确答案
解析
略
知识点
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0，4)到焦点F的距离为5，斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点。
（1）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；
（2）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程。
正确答案
（1）
（2）
解析
（1）依题意设抛物线C：
因为点P到焦点F的距离为5，
所以点P到准线
因为P(x0，4)，所以由抛物线准线方程可得 
所以抛物线的标准方程为
即 
所以 
所以 点
点
（2）设直线
联立 
所以 
所以 
即
所以 
因为 四边形AMBN为菱形，
所以 
所以 
所以 
所
知识点
如图已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点作倾斜角为
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且
（3）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x﹣1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由。
正确答案
见解析。
解析
（1）∵
∴所求抛物线的方程为y2=4x
∴设圆的半径为r，则
（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由
∵
∴x1x2=16，
∵
∴
=
≥
=256
∴
∴△GOH面积最小值为16.
（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）
∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，
∴
两式相减得：（y3﹣y4）（y3+y4）=4（x3﹣x4）
∴y3+y4=4•
∴y0=﹣2k
∵D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上
∴x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外
∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称
知识点
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