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已知函数。
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)是否存在,使得对任意的,都有,若存在,求 的范围;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
解析:(1),
i)若时,则,此时都有,有。的单调递增区间为和。
ii)若,则,的单调递增区间为,
(2)当时,且,当时,都有.此时,在上单调递减 。
又在上单调递减。
由已知,解得又。。
综上所述,存在使对任意,都有成立。
知识点
已知实数满足,则目标函数的取值范围为
正确答案
解析
略
知识点
已知是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,,若椭圆的离心率等于.
(1)求直线的方程(为坐标原点);
(2)直线交椭圆于点,若三角形的面积等于4,求椭圆的方程。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)由,知,因为椭圆的离心率等于,
所以,可得,设椭圆方程为 --------3分
设,由,知
∴,代入椭圆方程可得 --------5分
∴A(),故直线的斜率 --------6分
直线的方程为 --------7分
(2)连结
由椭圆的对称性可知,, --------9分
所以 --------10分
又由解得,故椭圆方程为 ------14分
知识点
已知函数(,e为自然对数的底数)。
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,若方程只有一解,求a的值;
(3)若对任意的,均有,求a的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1),
当时,,在上是单调增函数。
当时,
由,得,在上是单调增函数;
由,得,在上是单调减函数。
综上,时,的单调增区间是。
时,的单调增区间是,单调减区间是。
(2)由(1)知,当,时,最小,即,
由方程只有一解,得,又考虑到,
所以,解得,
(3)当时,恒成立,
即得恒成立,即得恒成立,
令(),即当时,恒成立。
又,且,当时等号成立。
①当时,,
所以在上是增函数,故恒成立。
②当时,若,,
若,,
所以在上是增函数,故恒成立,
③当时,方程的正根为,
此时,若,则,故在该区间为减函数。
所以,时,,与时,恒成立矛盾。
综上,满足条件的的取值范围是,
知识点
7.如图所示,使用模拟方法估计圆周率值的程序框图,P表示估计的结果,则图中空白框内应填入P=( )
正确答案
解析
略
知识点
A、B、C三点在同一球面上,,2,且球心O到平面ABC的距离为1,
则此球O的体积为
正确答案
解析
略
知识点
已知.
(1)当时,求在点处的切线方程;
(2)若1时,0恒成立,求的取值范围。
正确答案
(1)2x-y-2=0
(2)(-∞,0]
解析
(1)当时,,∴,又,
∴所求切线方程为,即. (4分)
(2),
①当≥1时,又≥1,≥0,不合题意;
②当≤0时,≤0,
∴在 上是减函数,∴≤,符合题意;
③当时,.
设,令得.
可验证得:.当时,,即,∴在此区间上是单增函数,恒有>,不合题意。
综上实数的取值范围是. (12分)
知识点
某工厂的固定成本为万元,该工厂每生产台某产品的生产成本为万元,设生产该产品(百台),其总成本为万元(总成本=固定成本+生产成本),并且销售收入满足
假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求:
(1)要使工厂有盈利,产品数量应控制在什么范围?
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?
正确答案
见解析
解析
依题意得,设利润函数为,则,
所以 2分
(1)要使工厂有盈利,则有f(x)>0,因为
f(x)>0⇔, 4分
⇒⇒
⇒或, 6分
即, 7分
所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内, 8分
(2)当时,
故当x=6时,f(x)有最大值4.5. 10分
而当x>7时,。
所以当工厂生产600台产品时,盈利最大, 12分
知识点
已知数列的前项和为,且,
(1)求数列的通项公式
(2)数列的通项公式,求数列的前项和为
正确答案
(1) (2)=
解析
(1)时, …… 1分
时, …… 3分
经检验时成立, …… 4分
综上 …… 5分
(2)由(1)可知 …… 7分
= …… 9分
=
= ……12分 (具体最终化简形式酌情处理)
知识点
10.已知函数,若f(x)存在唯一的零点,且>0,则a的取值范围是( )
正确答案
解析
略
知识点
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