热门试卷

证明：（1）连结BN，则AN⊥BN，

又CD⊥AB，

则∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF+∠BNF=180°，

则B、E、F、N四点共圆．…（5分）

（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AE•AB，

由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：，

∴BF•BM=BA•BE=BA•（BA-EA），

∴BF•BM=AB2-AB•AE，

∴BF•BM=AB2-AC2，即AC2+BF•BM=AB2．…（10分）

解：（1）因为AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC．

又因为FB与圆O相切于点B，

所以∠EBA=∠ACB，

所以△EAB∽△ABC，

所以=，即AB2=AE•BC，

因为AB=CD，所以CD2=AE•BC．

（2）因为AB2=AE•BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD，

所以AE==，

因为AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB，

又因为∠EBA=∠ACB，

所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F，

所以△FEA∽△FAB，

所以，

所以EF==．

（Ⅰ）证明：连接ON，

∵OM∥AC，

∴∠A=∠BOM，∠ANO=∠NOM，

∵OA=ON，

∴∠A=∠ANO，

∴∠BOM=∠NOM．

在△NOM和△BOM中，

∵ON=OB，∠BOM=∠NOM，OM=OM，

∴△NOM≌△BOM，

∴∠ONM=∠OBM=90°，

∴ON⊥MN，

∴MN是圆O的切线；

（Ⅱ）解：延长MO交圆O于点F，

∵△NOM≌△BOM，

∴MN=MB，

∵M是BC的中点，

∴BC=2MB，

∴MN•BC=MN•2MB=2MN2，

∵AC=2OM，AB=2OF，

∴MQ•QC+MQ•QB=MQ•（AC+AB）=MQ•（2OM+2OF）=2MQ•MF，

∵MN，MF分别是圆O的切线与割线，

∴MN2=MQ•MF，

∴MN•BC=MQ•AC+MQ•AB．

证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分

对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；

（II）由（I）得∠ADB=∠ABF

∵∠BAD=∠FAB

∴△BAD∽△FAB

∴

∴AB2=AD•AF

∵AB=AC

∴AB•AC=AD•AF

∴AB•AC•DF=AD•AF•DF

根据割线定理DF•AF=FC•FB

∴AB•AC•DF=AD•FC•FB

解：（1）由切割线定理，可得PT2=PB•PA，

∵BP=1，直径AB=4，可得AP=5

∴PT2=PB•PA=5，可得（舍负）．…（5分）

（2）连接TB，由AB是圆的直径，可得∠ATB=90°，

∴AT2+BT2=AB2=16…①，

∵直线PT切圆O于点T，∴∠PTB=∠PAT，

∵∠TPB=∠APT，∴△TPB∽△APT，可得=，

解得…②，

联解①②，可得．…（10分）

证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线

∴PA•PE=PD•PB             （2分）

又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线

∴PA2=PC•PB        （4分）

由以上条件得PA•PD=PE•PC（5分）

（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F

∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°

∴AC是⊙O2的切线．（6分）

由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE（8分）

又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED

又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE

∴AD=AE（10分）

证明：（1）∵∠=∠，

∴，，，四点共圆，

∴•=•．

（2）∵•=•，

∴•=•，

又∠=∠，

∴△∽△，

∴∠=∠，则∠=∠，

∵∠=∠，

∴∠=∠+∠=2∠，

又∠=2∠，

∴∠=∠．

证明：（Ⅰ）∵OT⊥EF，BF⊥AB，∠CTF=∠CBF=90°，

∴∠CTF+∠CBF=180°，

∴B，C，T，F四点共圆，

∴∠CBT=∠CFT；

（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，则△PBF∽△PTC，

∴=①，

△PAE∽△PTC，∴=②

①×②=

由切割线定理可得PT2=PA•PB，

∴CT2=AE•BF．