直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC=，则AC=______．

正确答案

2

解析

解：∵AB=AC，∠C=72°

∴∠A=36°

圆O过AB两点且BC切于B

∴∠CBD=∠A=36°

∴∠ABD=36°

∴AD=BD

∠BDC=72°

BC=BD

∴△ABC∽△BCD

∴BC 2=CD•AC=（AC-BC）AC

∴AC=2

故答案为：2

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题型：填空题

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填空题

如图，已知圆中两条弦AB与CD相交与F，且DF=CF=，E是AB延长线上一点，AF：FB：BE=4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为______．

正确答案

解析

解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=，

∴AF=2，BF=1，BE=，AE=，

由切割定理得CE2=BE•EA==

∴CE=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

如图，AB是的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，∠ACE=40°，则∠P=（　　）

A60°

B70°

C80°

D90°

正确答案

C

解析

解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°，

又∠ACE=40°，且PB=PC

∴∠PCB=∠PBC=50°，

∴∠P=180°-50°-50°=80°

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D．若∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则∠PAC=______°，PA=______．

正确答案

60

3

解析

解：∵PD=1，BD=8，

∴PB=PD+BD=9

由切割线定理得PA2=PD•PB=9

∴PA=3

又∵PE=PA

∴PE=3

又∠PAC=∠ABC=60°

故答案：60，3

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为______．

正确答案

解析

解：∵D是BC的中点，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．

又∵PA切圆O于点A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．

∵∠BED=∠PEA，

∴△BED∽△PEA，可得，

∴AE2=BE•AE=PE•ED=6．

由此解出AE=．

∵AE2=GE•EF，∴GE=2，

∴PG=1，

∴PA2=PG•PF=6，

∴PA=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．

（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（Ⅱ）若AD=2，AE=6，求EC的长．

正确答案

证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，

∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）

∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． …（5分）

（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即，

解得，…（7分）

∴OA=2OE，

∴∠A=30°，∠AOE=60°．

∴∠CBE=∠OBE=30°．

∴在Rt△BCE中，可得EC=． …（10分）

解析

证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，

∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）

∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． …（5分）

（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即，

解得，…（7分）

∴OA=2OE，

∴∠A=30°，∠AOE=60°．

∴∠CBE=∠OBE=30°．

∴在Rt△BCE中，可得EC=． …（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=1，∠BAP=120°，则圆O的面积为______．

正确答案

π

解析

解：∵PA是圆O的切线，

∴OA⊥AP．

又∵∠PAB=120°，

∴∠BAO=∠ABO=30°．

又∵在Rt△ABC中，AC=1，

∴BC=2，即圆O的直径2R=2，

∴圆O的面积S=πR2=π，

故答案为：π．

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题型：简答题

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简答题

圆的两条弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线DA的延长线交于点P，再从点P引这个圆的切线，切点是Q．求证：PF=PQ．

正确答案

解：∵ABCD四点共线

∴∠ADF=∠ABC

又∵PF∥BC

∴∠AFP=∠FDP

又∵∠CPF=∠FPD

∴△APF∽△FPD

∴

∴PF2=PA•PD

又PQ与圆相切

∴PQ2=PA•PD

∴QF2=PQ2

∴PF=PQ

解析

解：∵ABCD四点共线

∴∠ADF=∠ABC

又∵PF∥BC

∴∠AFP=∠FDP

又∵∠CPF=∠FPD

∴△APF∽△FPD

∴

∴PF2=PA•PD

又PQ与圆相切

∴PQ2=PA•PD

∴QF2=PQ2

∴PF=PQ

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题型：填空题

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填空题

如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为______．

正确答案

135°

解析

解：连接OC，如下图所示：

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA

∴∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC

又∵∠APC的角平分线为PQ

∴∠OPQ=∠CPQ

在△OCP中，∠POC+∠OPC+∠OCP=2（∠OAC+∠OPQ）+∠OCP=180°

又∵∠OCP=90°

∴∠OAC+∠OPQ=45°

∵∠CQP=∠OAC+∠OPQ=45°

∴∠AQP=135°

故答案为：135°

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题型：填空题

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填空题

如图所示，已知圆O的直径AB=，C为圆O上一点，且BC=，过点B的切线交AC延长线于点D，则DB=______．

正确答案

解析

解：∵AB是直径，∴∠ACB为直角，

∵BC=，AB=，∴AC=2，

∵DB与⊙O相切，

∴∠DBA为直角，

由射影定理得BC2=AC•CD，

∴CD=1，

∴DB2=DC•AD=3，

∴DB=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的内切圆⊙O如图，若∠DEF=54°，则∠BAC等于______．

正确答案

解：如图，连接OD、OE，则∠ODA=∠OFA=90°；

⊙O中，∠DOF=2∠DEF=2×54°=108°；

四边形ADEF中，∠ODA=∠OFA=90°，

∴∠BAC+∠DOF=180°，

即∠BAC=180°-∠DOF=72°．

故答案为：72°．

解析

解：如图，连接OD、OE，则∠ODA=∠OFA=90°；

⊙O中，∠DOF=2∠DEF=2×54°=108°；

四边形ADEF中，∠ODA=∠OFA=90°，

∴∠BAC+∠DOF=180°，

即∠BAC=180°-∠DOF=72°．

故答案为：72°．

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题型：简答题

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简答题

如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．

（Ⅰ）求证：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

正确答案

解：（I）证明：连接AB，

∵AC是⊙O1的切线，

∴∠BAC=∠D，

又∵∠BAC=∠E，

∴∠D=∠E，

∴AD∥EC．

（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

∴PA2=PB•PD，

∴62=PB•（PB+9）

∴PB=3，

在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，

∴PE=4，

∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

∴AD2=DB•DE=9×16，

∴AD=12

解析

解：（I）证明：连接AB，

∵AC是⊙O1的切线，

∴∠BAC=∠D，

又∵∠BAC=∠E，

∴∠D=∠E，

∴AD∥EC．

（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

∴PA2=PB•PD，

∴62=PB•（PB+9）

∴PB=3，

在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，

∴PE=4，

∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

∴AD2=DB•DE=9×16，

∴AD=12

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题型：填空题

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填空题

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线PA与弦BC的延长线相交于点P，∠PBA的平分线交PA于点D，∠ABC=30°．

（1）求∠ADB的度数；

（2）若PA=2cm，求BC的长．

正确答案

解析

解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

∴∠PAB=90°，

∵BD平分∠PBA，

∴∠ABD=∠PBA=×30°=15°，

∴∠ADB=90°-∠ABD=75°；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠PCA=∠ACB=90°；

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°；

在Rt△PAC中，

∵PA=2，∠PCA=90°，

∴PC=PA=1；

在Rt△ABP中，

∵∠ABP=30°，∠PAB=90°，

∴PB=2AP=2×2=4，

∴BC=PB-PC=3（cm）．

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题型：单选题

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单选题

如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD=DB；③AP=BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是（　　）

A①②④

B①③④

C②③④

D①②③

正确答案

D

解析

解：连接BD．

由题意可证△PCD≌△HCD（HL），

∴CH=CP；

还可以证明△ADP≌△BDH（AAS），

∴AD=DB；AP=BH．

因圆的直径不确定，而无法证明DH为圆的切线．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则线段CD的长为______．

正确答案

解析

解：连接OC，则OC⊥直线l，所以OC∥AD，

∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，

又AB=6，BC=3，所以∠CAB=30°，AC==3，

由OA=OC得，∠ACO=∠CAB=30°，

∵OC∥AD，

∴∠CAD=∠ACO=30°，

∴CD=AC=×3=

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正确答案

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