热门试卷

（1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则

∵CD是圆O的切线，

∴OC⊥l，

∵AD⊥l，∴AD∥OC，

∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，

∵AD⊥l，∴l∥BE，

∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，

∵∠EDC=∠BCA=90°，

∴△EDC∽△BCA，

∴=，

∴AB•DE=BC•CE；

（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，

∴DE=CF，

∵圆O的直径AB=8，BC=4，

∴∠ABC=60°

∴△OBC是等边三角形，

∴∠EBA=30°，AE=4．

解：（Ⅰ）如图，连OA，因AB为圆O′的直径，有BD⊥PD，

又PA为圆O的切线，A为切点，有OA⊥PD，

故OA∥BD，∠1=∠3，

又OA=OB，可知∠1=∠2，所以∠2=∠3，

在圆O′中，，于是AC=AD．   

（Ⅱ）因PA=AB，故∠P=∠2=∠3，在Rt△BDP中，

∠P+∠2+∠3=90°，所以∠P=∠2=30°，

故OE=OA=OP．

设⊙O的直径为R，则PE=R，PB=3R，于是PA2=PE•PB=3R2=16

可得R=，故⊙O的直径为．

证明：连接GA、GB，

则△AGB也是一个直角三角形，

因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高，

所以，EG为EA和EB的比例中项，

即EG2=EA•EB

∵∠AFE=∠ABC，

∴直角△AEF∽直角△DEB，

即EA•EB=ED•EF．

又∵EG2=EA•EB，

∴EG2=ED•EF（等量代换），

故EG也是ED和EF的比例中项．

证明：如图，连接ED．

因为圆与BC切于D，所以∠BDE=∠BAD．…（4分）

因为AD平分∠BAC，

所以∠BAD=∠DAC．

又∠DAC=∠DEF，所以∠BDE=∠DEF．

所以EF∥BC．…（10分）

解：（1）BE平分∠ABC；

证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC

∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…（2分）

又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC，

∴∠ABC=2∠EBC∴BE平分∠ABC；…（5分）

（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC∴E是弧AC的中点

∴AE=EC=6

又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…（7分）

∵A、B、C、E四点共圆∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF

∴△AEF∽△DEC

∴∴…（10分）

（1）证明：∵BT为切线，BA为弦，∴∠ABE=∠C，

又∵EF∥BC，∴∠C=∠AFP，∴∠ABE=∠AFP．

∵∠APF=∠EPB，∴△APF∽△EPB，可得，

∴PA•PB=PE•PF．

（2）当点P为线段BA的延长线上一点时，

第（1）问的结论仍然成立．

证明：∵BT为切线，BC为弦，∴∠CBE=∠A，

∵PF∥BC，∴∠CBE=∠PEB可得∠PEB=∠A．

又∵∠EPB=∠APF，∴△APF∽△EPB，可得，

∴PA•PB=PE•PF，结论仍然成立．

解：∵AC和AB分别是圆O的切线，AB=4，

∴AB=AC=4，

∵OC⊥AC，OC=3，

∴AO2=AC2+OC2=32+42，

∴AO=5，

∴AD=8，

∴．

故答案为：．