热门试卷

解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，

所以∠PAE=∠ABC=45°，…（1分）

又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…（2分）

因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PD•PB=9，

所以EP=PA=3，…（4分）

所以△ABP的面积为BP•PA= …（5分）

（2）在Rt△APE中，由勾股定理得AE=3…（6分）

又ED=EP-PD=2，EB=DB-DE=8-2=6，

所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12 …（9分）

所以EC==2，

故AC=5…（10分）

证明：（Ⅰ）∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAD=∠EBA，

∵∠E=∠E，

∴△DAE∽△ABE，

∴=；

（Ⅱ）过点D作DH⊥AC，垂足为H，连接CD，则：

∵∠EAD=∠ABD，∠DAC=∠DBC，BD平分∠ABC，

∴∠EAD=∠DAC

∵DF⊥AB，DH⊥AC，

∴DF=DH

在Rt△DFA和Rt△DHA中，DF=DH，DA=DA，

∴Rt△DFA≌Rt△DHA，

∴AF=AH，

∵∠ABD=∠CBD，

∴DC=DA，

∵DH⊥AC，

∴AH=CH，

∴AC=2AH=2AF．

解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，

∴PD=4，

又∵PC=ED=1，∴CE=2，

∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，

∴△PAC∽△CBA，∴，

∴AC2=PC•AB=2，∴（5分）

（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，

∴，∴EF=BE．（10分）

（Ⅰ）证明：延长DC与圆O交于点M，

因为CD⊥AB，

所以CD2=CD•CM=AC•BC，

因为Rt△ACE∽Rt△GBC，所以=，

即AC•BC=CE•CG，故CD2=CE•CG．…（5分）

（Ⅱ）解：因为AC=CO=1，所以CD2=AC•BC=3，

又CD=3CE，由（Ⅰ）得CG=3CD，

GT2=GM•GD=（CG+CM）•（CG-CD）=（CG+CD）•（CG-CD）

=CG2-CD2=8CD2=24，故GT=2．…（10分）

解：∵AP是⊙O的切线，∴由弦切角定理可得∠PAB=∠ADB，

又∵∠ABP=∠DBA，∴△ABP∽△DBA，

∴，∴AB2=BP•BD．

解：（1）如图所示，连接DF、EC，

由同弧或等弧所对的圆周角相等可得：∠DFE=∠DCE，∠DCE=∠BAE=∠EAC，

∴∠DFE=∠EAF，又∠DEF公用，

∴△DEF∽△FEA，∴，∴EF2=ED•EA．

（2）由（1）可知：=，

由割线定理得AD•AE=AC•AF，

∴AC•AF=（AE-DE）•AE==27．

（1）证明：如图所示．

∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=．

∵，AC平分∠DAB．

∴，∴．

∵DC与⊙O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC=．

∴．

∴．

∴AD⊥DC．

（2）在Rt△ABC中，∵AB=6，．

∴=3．

在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD==．

由切割线定理可得：DF•DA=DC2=．

（1）证明：∵BC•AE=DC•AF，

∴…（1分）

又 DC为圆的切线

∴∠DCB=∠EAF…（2分）

∴△AFE∽△CBD…（3分）

∴∠AFE=∠CBD…（4分）

又B，E，F，C四点共圆

∴∠AFE=∠CBE…（5分）

∴∠CBD=∠CBE=90°

∴CA是△ABC外接圆的直径…（6分）

（Ⅱ）解：连结CE，∵∠CBE=90°

∴CE为B，E，F，C所共圆的直径…（7分）

∵DB=BE，且BC⊥DE

∴CD=CE…（8分）

∵DC为圆的切线，AC为该圆的直径

∴AC⊥DC…（9分）

设DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，

CD2=BD•DA=3a2，AC2=AB•AD=6a2，

∴=，

∴=，

∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为．