- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
（选做题）
如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O1O2的延长线相交于点C，延长AP交⊙O2于点D，点E在AD的延长线上。
（Ⅰ）求证：△ABP是直角三角形；
（Ⅱ）若AB·AC=AP·AE，AP=4，
正确答案
证明：（Ⅰ）过点P作两圆公切线PN交AB于N，
由切线长定理得
∴△PAB为直角三角形；
（Ⅱ）∵
∴
又
∴
∴
即
由切割线定理，
∴
∴
如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，
证明：（Ⅰ）∠BFM=∠PEF；
（Ⅱ）PF2= PD·PC。
正确答案
证明：（Ⅰ）连接OE，
∵PE切⊙O于点E，
∴OE⊥PE，
∴∠PEF+∠FEO=90°，
又∴AB⊥CD，
∴∠B+∠BFM=90°，
又∴∠B=∠FEO，
∴∠BFM=∠PEF；
（Ⅱ）∵∠PEF=∠BFM，
∴∠EFP=∠PEF，
∴PE=PF，
又∵PE2=PD·PC，
∴PF2=PD·PC。
已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C 两点，
正确答案
1
如图，△ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D，若∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则∠PAC=（ ），PA=（ ）。
正确答案
60°；3
如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB的平分线分别交AE、AB于点F、D．
（Ⅰ）求∠ADF的度数；
（Ⅱ）若AB=AC，求
正确答案
解 （1）∵AC为圆O的切线，
∴∠B=∠EAC，
又CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，
即∠ADF=∠AFD．
又∵BE为圆O的直径，∴∠BAE=90°，
∴∠ADF=
（2）∵∠B=∠EAC，∠ACE=∠BCA，
∴△ACE∽△BCA
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠EAC，
由∠BAE=90°及三角形内角和知，∠B=30°，
∴在Rt△ABE中，
选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为线段PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点．
求证：∠DPB=∠DCP．
正确答案
证明：因为PA与圆相切于A，所以DA2=DB•DC，（3分）
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP2=DB•DC，即
因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，（9分）
所以∠DPB=∠DCP．（10分）
如图，圆O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB=OA=2，则PF=（ ）。
正确答案
3
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若
正确答案
证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE．
又∵OB=OE，
∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，
∴BC∥OE．
∵∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是△BDE的外接圆的切线．
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，
则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，
即 
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴在Rt△BCE中，可得EC=
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上，设ED与AF相交于点G，若B、C、F、E四点共圆，求证：AG·GF= DG·CE。
正确答案
解：连接EF，
∵B、C、F、E四点共圆，
∴∠ABC=∠EFD
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴∠BAD+∠EFD=180°，
∴A、D、F、E四点共圆，
∵ED交AF于点G，
∴ AC·GF= DG·GE。
选做题
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，BD交AC于E．
（I）求证：CD2=DE·DB．
（II）若CD=2
正确答案
（I）证明：连接OD，OC，
由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD
∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC
∴△BCD∽△CED
∴
∴CD2=DE·DB
（II）解：设⊙O的半径为R
∵D是弧AC的中点
∴OD⊥AC，
设垂足为F 在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=
在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2
∴
∴R2﹣R﹣6=0
∴（R﹣3）（R+2）=0
∴R=3
如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
正确答案
（Ⅰ）证明：连接DE，
根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB，
因此∠ADE=∠ACB，
所以C，B，D，E四点共圆。
（Ⅱ）解：m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12，
故AD=2，AB=12，
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，
两垂线相交于H点，连接DH，
因为C，B，D，E四点共圆，
所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，
由于∠A=90°，
故GH∥AB，HF∥AC，HF=AG=5，DF=
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
（选做题）
在圆内接△ABC中，AB=AC=
正确答案
15
如图：若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则AD·DC=（ ）。
正确答案
7
（选做题）
如图，AB为⊙C的直径，弦AC，BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=（ ）．
正确答案
如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2
正确答案
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