热门试卷

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延长BA交切线CD于M.因为∠C＝90°，

所以AB为直径，所以半径为10.连结OC，则OC⊥CD，且OC∥BD.

因为∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE＝60°，

即BE＝OB＝10且∠M＝30°.

所以OM＝2OC＝20，所以AM＝10.

所以BD＝(AM＋AB)＝＝15，

即DE＝BD－BE＝15－10＝5.

见解析

证明　(1)连接IC，∵I为内心，

∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.

∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.

∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，

∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.

(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，

∴△ECD∽△EAC，∴＝，

∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.

:(1)略 (2)=

试题分析：解：(1)∵ PA是切线，AB是弦，

∴∠BAP=∠C，  ………2分

又∵∠APD=∠CPE,

∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,                  ………4分

∴∠ADE=∠AED．                  ………5分

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA,

∴△APC∽△BPA, ∴,      ………7分

∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径，∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．………9分

在Rt△ABC中，=, ∴=．………10分

点评：此类题目常涉及的图形有圆、切线和三角形。在解决此类题目时，常要找出两个相似三角形。

解：="2   " ………………………2分

…………………………………6分

又  =2

 =…………………………………8分

又,且向量不共线 ……………12分

略

（1）见解析（2）见解析

(1)连结BD，因为AB为圆O的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中点．

(2)连结BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有，

即AB2＝AE·AF，同理可得AB2＝AD·AC，

所以AD·AC＝AE·AF.

2

∵∠BNA＝45°，∴∠BOA＝90°.∵OM＝2，BO＝2，∴BM＝4.∵BM·MN＝CM·MA＝(2＋2)(2－2)＝8，∴MN＝2.

证明：（Ⅰ）连接OD，可得

OD∥AE----------------------------------------3分

又

DE是⊙的切线.----------------- ------------5分

（Ⅱ）过D作于H，则有

.------------------6分

设，则

--------------------------8分

由∽可得

又∽，--------------10分

略

解：（1），～，

又                           （5分）

（2）～，

略

（Ⅰ）见解析(Ⅱ) 2

（Ⅰ）证明：如图，连接ON，∵，则，   2分

又，则.,∴，   4分

∴，故是圆O的切线；    5分

(Ⅱ) .在△BOM中，，,延长BO交圆O于点D，连接DN，由条件知△BOM∽△BND,于是,，即MN=BN-BM=6-4=2.   10分

【命题意图】本题考察切线的判定定理、三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.

见解析

因为AC⊥BD，故△AED、△BEC都是直角三角形．

又EF⊥AD，EG⊥BC，

由射影定理可知AF·DF＝EF2，

BG·CG＝EG2.

又FG2＝(FE＋EG)2＝FE2＋EG2＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG，∠ABC＝45°，如图，过点H、A分别作直线HM、AN与BC垂直，易知，AH＝FE，BH＝EG，故AH·BH＝2EF·EG.所以

FG2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.

见解析

证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴CD2＝AD·BD，故CD4＝AD2·BD2.

又在Rt△ADC中，DE⊥AC，

Rt△BDC中，DF⊥BC，

∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.

∴CD4＝AE·BF·AC·BC.

∵AC·BC＝AB·CD，

∴CD4＝AE·BF·AB·CD，即AE·BF·AB＝CD3.

假设存在实数k的值，满足题设．

①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF.因为EF⊥EC，

所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE.

而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.

故得.又DE＝EA，所以.

又∠CEF＝∠EAF＝90°，所以△AEF∽△ECF.

②再证明可以取到实数k的值，使△AEF∽△BCF，

由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC，

因此要使△AEF∽△BCF，应有∠AFE＝∠BFC，

此时，有，又AE＝BC，故得AF＝BF＝AB.

由△AEF∽△DCE，可知，

因此，AB2，所以，求得k＝.

可以验证，当k＝时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．