热门试卷

见解析

证明:(1)∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,

∴MN2=PN2="NA·NB," ∴=,

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,

∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.

∵MC="BC," ∴∠MAC=∠BAC,

∴∠MAP=∠PAB,

∴△APM∽△ABP.

(2)∵∠ACD=∠PBN,

∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,

∴PM∥CD,

∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,

∵PM是圆O的切线,∴∠PMA=∠MCP,

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,

∴MC∥PD,

∴四边形PMCD是平行四边形.

（1）见解析   （2）5

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB

所以C,B,D,E四点共圆。

（2）m="4," n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故  AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF=(12-2)=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）欲证三角形全等，需牢牢掌握这种证明方法和所需要的条件.本小题,(已知)，下寻找另外的边和角，考虑到这里有圆，所以运用同弧所对应的圆周角相等可得(弧所对)，接着证明(其他角和边不好证，同时这里有弦切角可以利用).（2）欲求,因,则可转化为求,考虑到，需将联系起来就得考虑三角形相似.注意到,.

试题解析：(1)证明　因为XY是⊙O的切线，所以.

因为，所以，∴.                       2分

因为，所以.                                  4分

因为，又因为，

所以.                                           5分

(2)解　因为，，

所以，                                          7分      

所以， 即                             8分

因为，，

所以.所以.          10分

(1) ∠ADF＝45°; (2) AC∶BC＝．

试题分析：(1)由弦切角与角平分线，三角形的外角可得∠ADF＝∠AFD，BE为直径∠DAE＝90°，则可得∠ADF＝45°；(2)由△ACE∽△BCA得，在中可得比值．

解(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC,

又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB,

∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD,

即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，

∴∠DAE＝90°，∴∠ADF＝ (180°－∠DAE)＝45°．         5分

(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，

∴△ACE∽△BCA，

∴，又∵AB＝AC，∠ADF＝45°，

∴∠B＝∠ACB＝30°，

∴在中，＝tan∠B＝tan 30°＝．        10分

（1）见解析（2）见解析

如图，设F为AD延长线上一点．

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，

∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，

故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.

(2)设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC.

连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.

设圆半径为r，则r＋r＝2＋，得r＝2，外接圆面积为4π.

见解析

如图，连结AC，交EF于点G.

∵AD∥EF∥BC，∴，∴.

又EG∥BC，FG∥AD，∴，

∴EG＝·BC，GF＝·AD.

又EF＝EG＋GF，∴(m＋n)EF＝mBC＋nAD.

∴当m＝n＝1时，EF＝(BC＋AD)，即表示梯形的中位线．

（1）详见解析；（2）详见解析

试题分析：（1）要证明，只需证明弦所对的圆周角相等，连接，故只需证明．由得，为了和所求证的角建立联系，，从而可证明，进而证明；

（2）由结论很容易想到相交弦定理，故只需证明，由切割线定理得，且易证．

（1）连接．由题设知，,故．因为,,,所以，从而=．因此．

（2）由切割线定理得．因为,所以，由相交弦定理得，所以．

（1）（看下面的证明过程）

（2）

(1)证明:连结DE,交BC于点G.

因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=∠DBE=90°

由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.

而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,

所以∠CBD=∠BCD（等角的余角相等）

所以DB=DC.

(2)由(1)知，∠CDE=∠BDE，DB=DC,

故DG是BC的中垂线，所以BG=

设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,

所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.

（Ⅰ）证明：连接，

∵，

∴．∵与圆相切于点，

∴．∴．

∵，

∴．∴．   

又∵，∴．

∴． ………………………………6分

（Ⅱ）解：假设与圆相交于点，延长交圆于点．

∵与圆相切于点，是圆割线，

∴．

∵，，∴．

∴．

∴由（Ⅰ）知．∴．

在中，

∴．…………………………12分

略