热门试卷

见解析

在△ABC中，因为CM是∠ACB的角平分线，所以.

又已知AC＝AB，所以.①又BA与BC是圆O过同一点B的割线，

所以BM·BA＝BN·BC，即.②由①②可知，，所以BN＝2AM.

见解析

证明:(1)连接AD.

在△ADB和△EFB中,

∵BD·BE=BA·BF,

∴=.

又∠DBA=∠FBE,

∴△ADB∽△EFB,

又∵AB为☉O直径,

∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.

(2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,

∴E、F、A、D四点共圆,

∴∠DFB=∠AEB.

又AB是☉O的直径,则∠ACB=90°,

∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.

(1)见解析   (2) 5

(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,

AD·AB=mn=AE·AC,

即=.

又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,

因此∠ADE=∠ACB,

∴∠ACB+∠EDB=180°,

∴C、B、D、E四点共圆.

(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.

因为C、B、D、E四点共圆,

∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.

由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,

从而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,

故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.

(1)见解析   (2)

(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.

因为B,E,F,C四点共圆,

所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.

所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.

(2)解:连接CE,因为∠CBE=90°,

所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.

由DB=BE,有CE=DC.

又BC2=DB·BA=2DB2,

所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.

而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,

故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.

见解析

因为AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.

见解析

连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.

（I）证明：见解析；（II） 。

此题考查学生对相似三角形的判定与性质、切线的性质，勾股定理等知识点的综合利用，此题的关键是作好2条辅助线：（1）连接OC．（2）连接BC，然后利用了相似三角形对应边成比例求解的．

（1）连接OC．先证∠D=∠OCE．利用直线DE与⊙O相切于点C，求证∠D=90°即可得出AD⊥DC．

（2）∵，∴∽得到边的关系进而解得。

（I）证明：连结.∵直线与⊙相切于点，

∴    ……………………………………2分

∵平分,∴,∴,

∵是⊙的直径，∴,∴，

即.……………………………5分

（II）解：∵，∴∽，………7分

∴，∴，

∵，∴ …………………………10分