直线与圆的位置关系_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为圆上一点，

和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，

交圆于，若，，则= .

正确答案

试题分析：解：连接AC、AB、OC，

∵PT与圆O相切于点C，∴OC⊥PT，同理可得BT⊥AB，四边形OBTC中，∠OCT=∠OBT=90°，∴∠COB+∠CTB=180°，可得∠COB=180°-120°=60°，∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形，可得∠OBC=60°，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，，Rt△ABC中，AB=4，可得AC=ABsin60°=2 ∵PC与圆O相切于点C，∴∠PCA=∠CBA=60°∵AP⊥PC，∴Rt△PAC中，PC=ACcos60°=∵PC与圆O相切于点C，PQB是圆O的割线，∴PQ•PB=PC2=3，故答案为：3

点评：本题借助于圆的切线和含有60°的直角三角形，求切线长的值，着重考查了直角三角形中三角函数的定义、四边形内角和与圆中的比例线段等知识，属于基础题

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选做题）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点 D，CD=，AB="BC=4," 则AC的长为

正确答案

解：∵CD是圆的切线，

∴∠BCD=∠A；

又∠D=∠D，

∴△BCD∽△CAD，

∴AC ：BC =AD： CD ="CD" ：BD ，

即AC ：3 =3+BD： =： BD ，

则BD=4或-7（负值舍去）．

所以AC=

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题型：简答题

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简答题

(拓展深化)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O的半径．

正确答案

3 cm

解　法一　连接OC，设AP＝k cm，PB＝5k (k>0) cm，

因为AB为⊙O直径，所以半径OC＝AB＝ (AP＋PB)＝(k＋5k)＝3k，且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k.

因为AB垂直CD于P，

所以CP＝CD＝5 cm.

在Rt△COP中，

由勾股定理，

得OC2＝PC2＋PO2，

所以(3k)2＝52＋(2k)2，

即5k2＝25，所以k＝．

所以半径OC＝3k＝3 (cm)．

法二　设AP＝k，PB＝5k，

由相交弦定理：

CP·PD＝AP·PB，

即2＝k·5k.

∴k＝，

∴＝＝3，

即⊙O的半径为3 cm.

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题型：简答题

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简答题

如图，是圆的直径，为圆上一点，，垂足为，点为圆上任一点，交于点，交于点．

求证：（1）；（2）．

正确答案

（1）∵，∴，∴∽，∴（2）延长与⊙O交于点N，由相交弦定理得，且，∴

由（1）∴

试题分析：（1）∵，∴，

∴∽，

∴； 5分

（2）延长与⊙O交于点N，由相交弦定理，

得，且，

∴，由（1）

∴ 10分

点评：由直线与圆相交时产生的边角关系得到相似三角形，借助于相似三角形实现边与角的互化

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题型：填空题

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填空题

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，为⊙的切线,为切点,是

过点的割线,,,的平分

线与和⊙分别交于点和.

（I）求证：；

（II）求的值.

正确答案

解：（I）∵为⊙的切线，

∴， …………………1分

又公用，∴∽. …………2分

∴. ……………………………3分

（II）∵为⊙的切线，是过点的割线，

∴. …………………………………5分

又∵,，∴，. ……6分

由（I）知，，∵是⊙的直径，

∴.

∴,

∴ …………………7分

连结，则，…………………8分

又，∴∽,

∴ …………………………9分

∴.……………10分

略

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题型：填空题

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填空题

．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点.若，则的值为 .

正确答案

连接BC，OD，设OD与BC的交点为M，并设AC=3,AB=5,

则

四边形CEDM为矩形，所以,

.

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题型：填空题

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填空题

如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝1．若点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且AE＝BF＝CG＝DH，则四边形EFGH面积的最小值为．

正确答案

.

设AE=x，则

所以当时，.

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题型：简答题

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简答题

如图，是的直径，弦与垂直，并与相交于点，点为弦上异于点的任意一点，连结、并延长交于点、.

⑴ 求证：、、、四点共圆；

⑵ 求证：.

正确答案

(1)详见解析；（2）详见解析.

试题分析：(1)通过证明，证明四点共圆；（2）借助三角形相似和直角三角形的射影原理进行证明.

试题解析：(1)连结，则，又，

则，即，

则、、、四点共圆. (5分)

(2)由直角三角形的射影原理可知，

由与相似可知：，

，，

则，即. (10分)

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题型：填空题

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填空题

如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为．

正确答案

试题分析：取AB的中点F，连接OA,OF,所以为直角三角形，因为⊙O的半径为5，AB＝8，所以OF=3，同理取CD的中点G，可以求出OG=3，因为AB⊥CD，所以四边形OFEG是正方形，边长为3，所以OE=.

点评：圆心到弦的距离、弦的一半和半径构成一个直角三角形，这个直角三角形在解题中应用十分广泛，灵活应用可以简化运算.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分10分）

如图，在中，，平分交于点，点在上，。

（I）求证：是的外接圆的切线；

（II）若，，求的长。

正确答案

（I）只需证；（II）。

试题分析：(I) 由知，是的外接圆的直径，

取中点，连结,则点是的外接圆的圆心。

∴∴

又∵平分， ∴，

∴ ∴

∵∴ ， ∴是的外接圆的切线。…………………5分

(II) 由是圆的切线知，　

可得∴

∴　　　∵　　∴　

∴ ………10分

点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，根据圆周角定理得出相应的角相等或角的度数是解题的关键．

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题型：填空题

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填空题

如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______．

正确答案

,

解：利用图中圆内的性质和切线定理可知，圆的半径为1，角ABC为30度，结合沟谷定理可知计算得到结论PC=，PD=

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题型：简答题

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简答题

如图，在中，为边上的中线，为上任意一点，交于点.求证：．

正确答案

见解析

本试题主要是考查了平面几何中相似三角形性质的运用。根据已知条件，首先做辅助线，然后利用平行性得到相似比，，，然后得到比例相等。充分利用比值问题转化得到结论。

证明：过作，交于，∴，，

∴，， ∵为的中点，，

，，，即．

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题型：填空题

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填空题

(3)．(选修4—1 几何证明选讲）如图，已知是圆的切线，为切点，过做圆的一条割线交圆于、两点，为弦的中点，若圆心在∠的内部，则∠+∠的度数为：；

正确答案

)．

略

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题型：填空题

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填空题

如图，已知⊙的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，于点，交⊙于点，则的长为．

正确答案

试题分析：连接OC，则OC=OA=3，在中，AB=6，BC=3，，又CD为圆O的切线，∴OC∥AD，∴在中，，又，∴

点评：有关切线的长度计算问题，除了要利用三角形中的长度计算外，还常常用到切割线定理

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题型：填空题

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填空题

如图3，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥BC，垂足为F，若AB=6，CF·CB=5，则AE= 。

正确答案

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试题分析：因为

。

点评：解答此题时，通过作辅助线AC，利用圆周角定理来构造直角三角形、相似三角形来求。

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