热门试卷

解：（1）连接AB，

∵ AC是⊙O1的切线，

∴∠BAC=∠D

又∵∠BAC=∠E，

∴∠D=∠E

∴AD∥EC。

（2）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，

∴PA2=PB·PD

∴62=PB·（PB+9）

∴PB=3

又⊙O2中由相交弦定理，得PA·PC= BP·PE，

∴PE =4

∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，

∴AD2=DB·DE =9×16

∴AD=12。

（Ⅰ）证明：连结OD，可得，

∴OD∥AE，又AE⊥DE，

∴DE⊥OD，

又OD为半径，

∴DE是⊙O的切线。

（Ⅱ）解：过点D作DH⊥AB于H，

则有，

，

设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，

∴AH=8x，，

由△AED∽△ADB可得，，

∴AE=8x，

又由△AEF∽△DOF可得，

∴。

(Ⅰ)证明：连接OE， 因为OE=OB，

所以∠OEB=∠OBE，

又因为BE平分∠CBD，

所以∠CBE=∠DBE，

所以∠OEB=∠CBE，

所以EO∥CB，

因为∠C=90°，

所以∠AEO=90°，即AC⊥OE，

因为E为圆O半径OE的外端，

所以AC是圆O的切线。

(Ⅱ)解：因为AC是圆O的切线，所以AE2=AD·AB，

因为AE=6，AD=6，

所以，解得：AB=12，则OD=OB=3，

因为EO∥CB，

所以，

所以，解得BC=4。

证明：连结OC，所以∠OAC=∠OCA，

又因为CA平分∠BAF，

所以∠OAC=∠FAC，

于是∠FAC=∠OCA，

所以OC∥AD，

又因为CD⊥AF，

所以CD⊥OC，故DC是⊙O的切线。

证明：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以，

又因为，所以，

又因为AC平分∠BAD，所以，

所以，即，

所以CE是⊙O的切线；

（Ⅱ）连接BC，因为AB是圆O的直径，所以，

因为，

所以，

所以，

即。

解：（1 ）∵

∴

又∵

∴

又∵是等腰三角形

∴是的角分线

∴圆心O在直线AD上。

（2）连接DF，由（1）知，DH是⊙O的直径，

∴

∴

又∵

∴

∵与AC相切于点F

所以

∴

∴

∴点C是线段GD的中点。

解：（1）连结BC，由AB为⊙O的直径所以

又因为

又因为GC与⊙O相切于C，

所以

所以；

（2）由（1）可知，连结CF

又因为GE与⊙O相切于C，

所以

所以

所以

所以

所以。

解：(Ⅰ)如图，连结BD，OD，

∵CB，CD是圆O的两条切线，

∴BD⊥OC，∠2+∠3=90°，

又AB为圆O的直径，

∴AD⊥DB，∠1+∠2= 90°，

∴∠1=∠3，

∴AD∥OC。

(Ⅱ)AO=OD，则∠1=∠A=∠3，

∴Rt△BAD∽Rt△ODC，AD-OC=AB·OD=2。

证明：延长FC交圆与G，连接GB、OD，如图．

∠POF=2∠OAF，而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，

∴∠POF=∠PEC

又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC

在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，∠PGC=∠PEC，

∴△PGC∽△FOC，

∴PC·OC=GC·FC，

又CD2=GC·FC，

∴PC·OC=CD2∴△PDC∽△DOC．

∴∠PDC=∠DOC，

∵∠DOC+∠ODC=90°，

∴∠PDC+∠ODC=90°，

∴PD是⊙O的切线．

解：设切点分斜边为x，y两部分，

则(r+y)2+(r+x)2=(x+y)2，x+y=2，

∴，

∴，

∵xy≤1，

∴。