- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
（1）O、B、D、E四点共圆；
（2）2DC2=DM•AC+DM•AB．
正确答案
又D是BC的中点，所以DE=BD．
又OE=OB，OD=OD，
所以△ODE≌△ODB，
所以∠OBD=∠OED=90°．
故D，E，O，B四点共圆． …（5分）
（2）如图，延长DO交圆于点H，
∵DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，
∴DE2=DM•（
∵DE=
解析
又D是BC的中点，所以DE=BD．
又OE=OB，OD=OD，
所以△ODE≌△ODB，
所以∠OBD=∠OED=90°．
故D，E，O，B四点共圆． …（5分）
（2）如图，延长DO交圆于点H，
∵DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，
∴DE2=DM•（
∵DE=
（2）方程ρ=cosθ与
（3）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=
正确答案
圆，双曲线
解析
解：（1）在|2x-1|-|x+2|≥1中，
由2x-1=0，得x=
①当x＞
∴x≥4．
②当-2
∴-2≤x≤-
③当x＜-2时，原不等式等价于1-2x+x+2≥1，
∴x＜-2．
综上所述，|2x-1|-|x+2|≥1的解集是
故答案为：
（2）∵ρ=cosθ，
∴ρ2=ρcosθ，
∴x2+y2-x=0，
故ρ=cosθ是圆．
∵
∴
∴x2-y2=4，
故
故答案为：圆，双曲线．
（3）如图，∵AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，
它们相交于AB的中点P，PD=
∴∠OPA=90°，AP=BP=
∵AP•BP=CP•DP，
∴
故答案为：
（1）证明：PE是圆O的切线；
（2）若PA=
正确答案
因为PA是圆O的切线，A为切点，
所以OA⊥PA，
因为过点P，A，D的圆与圆O交于点E，
所以OE⊥PE，
所以PE是圆O的切线；
（2）解：因为PA=
所以由切割线定理，可得3=1×PC，
所以PC=3，
所以BC=2，
所以圆O的半径r的最小值为1．
解析
因为PA是圆O的切线，A为切点，
所以OA⊥PA，
因为过点P，A，D的圆与圆O交于点E，
所以OE⊥PE，
所以PE是圆O的切线；
（2）解：因为PA=
所以由切割线定理，可得3=1×PC，
所以PC=3，
所以BC=2，
所以圆O的半径r的最小值为1．
（Ⅰ）求证：PA=AC；
（Ⅱ）若点D是弧AC的中点，PD与⊙O交于另一点E，PB=1，求PE的长．
正确答案
（Ⅰ）证明：设BC=2R，则PB=R，PC=3R，
∵PA为切线，由切割线定理得，PA2=PB•PC=3R2，
∴PA=
连接OA，PA⊥OA，
∴∠POA=60°．∠AOC=120°．
∴AC=
（Ⅱ） 解：连接OD，CD，
∵D为
∴
而OC=OD，∠PCD=60°，
∵PB=1，
∴PC=3，CD=1，
由余弦定理得PD2=PC2+CD2-2PC•CDcos60°=
∴PD=
再由切割线定理得，PA2=PE•PD，
∴
∴PE=
解析
（Ⅰ）证明：设BC=2R，则PB=R，PC=3R，
∵PA为切线，由切割线定理得，PA2=PB•PC=3R2，
∴PA=
连接OA，PA⊥OA，
∴∠POA=60°．∠AOC=120°．
∴AC=
（Ⅱ） 解：连接OD，CD，
∵D为
∴
而OC=OD，∠PCD=60°，
∵PB=1，
∴PC=3，CD=1，
由余弦定理得PD2=PC2+CD2-2PC•CDcos60°=
∴PD=
再由切割线定理得，PA2=PE•PD，
∴
∴PE=
（Ⅰ）求证CA=CD；
（Ⅱ）设H为AD的中点，求证BH•BA=BF•BD．
正确答案
（I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，
又∵∠CGE=∠DCF，
∴∠DCF=∠GAC．
∵GA=GF，
∴∠GAF=∠AFG．
又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，
∴∠CAF=∠D．
∴CA=CD．
（II）证明：连接CH，CB．
∵CA=CB，AB=BD．
∴CH⊥AD．
由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，
∴CB2=BH•BA．
∵∠BCF=∠CAB=∠D，
∴△BCF∽△BDC．
∴
∴BC2=BF•BD，
∴BH•BA=BF•BD．
解析
（I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，
又∵∠CGE=∠DCF，
∴∠DCF=∠GAC．
∵GA=GF，
∴∠GAF=∠AFG．
又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，
∴∠CAF=∠D．
∴CA=CD．
（II）证明：连接CH，CB．
∵CA=CB，AB=BD．
∴CH⊥AD．
由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，
∴CB2=BH•BA．
∵∠BCF=∠CAB=∠D，
∴△BCF∽△BDC．
∴
∴BC2=BF•BD，
∴BH•BA=BF•BD．
正确答案
解析
解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（
故答案为：
（1）证明：B、C、D、G四点共圆
（2）过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH=
正确答案
（1）证明：∵AD是直径，
∴∠AGD=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠AGD=∠BCA，
∴B、C、D、G四点共圆
（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，
∴CP2=CD•CA，
∵∠CPO=90°，PH⊥AD，
∴CP2=CH•CO，
∵CH=
∴CO=5，
∴CP2=CH•CO=16，
∴CD•CA=16．
解析
（1）证明：∵AD是直径，
∴∠AGD=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠AGD=∠BCA，
∴B、C、D、G四点共圆
（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，
∴CP2=CD•CA，
∵∠CPO=90°，PH⊥AD，
∴CP2=CH•CO，
∵CH=
∴CO=5，
∴CP2=CH•CO=16，
∴CD•CA=16．
如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=（ ）。
正确答案
30°（或
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若
正确答案
证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE．
又∵OB=OE，
∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，
∴BC∥OE．
∵∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是△BDE的外接圆的切线．
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，
则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，
即 
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴在Rt△BCE中，可得EC=
（选做题）
A．如图，AD是∠BAD的角平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E、F两点．求证：EF∥BC．
B．已知M=
C．已知直线l的极坐标方程为
D．设函数f（x）=|x﹣2|+|x+2|，若不等式|a+b|﹣|4a﹣b|≤|a|，f（x）对任意a，b∈R，且a≠0恒成立，求实数x的取值范围．
正确答案
A．证明：连接DE，可得∠DEF=∠DAC
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠EDB
∴∠DEF=∠EDB
∴EF∥BC
B．设M﹣1=
依题意，有
∴
∴
∴
∴
C．直线l的极坐标方程为
曲线C
所以圆心（1，2）到直线y=x的距离
∴AB=2
D．∵a≠0，
∴a＞0
∴|a+b|﹣|4a﹣b|≤|（a+b）+（4a﹣b）|=5|a|=5a，
∵|a+b|﹣|4a﹣b|≤|a|f（x）对任意a，b∈R，且a≠0恒成立，
∴5a≤af（x）
∴f（x）≥5
∴x≤﹣2.5或x≥2.5
∴x的取值范围是x≤﹣2.5或x≥2.5．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）求sin∠EOB的值．
正确答案
∵∠AEC与∠MBC都为
∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），
∴△AME∽△CMB，
∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；
（2）解：如图，∵DC为⊙O的直径，
∴DE⊥EC，
∵DC=8，DE=
∴EC=
设EM=x，由于M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），
整理得：x2-7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
∵EM＞MC，∴EM=4，
∵OE=EM=4，
∴△OEM为等腰三角形，
过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=
∴EF=
∴sin∠EOB=
解析
∵∠AEC与∠MBC都为
∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），
∴△AME∽△CMB，
∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；
（2）解：如图，∵DC为⊙O的直径，
∴DE⊥EC，
∵DC=8，DE=
∴EC=
设EM=x，由于M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），
整理得：x2-7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
∵EM＞MC，∴EM=4，
∵OE=EM=4，
∴△OEM为等腰三角形，
过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=
∴EF=
∴sin∠EOB=
正确答案
解析
且PB=OB=3，PC切⊙O于点C，CD⊥AB于点D，
∴由切割线定理得PC2=PB•PA=27，
∴PC=3
连结OC，则OC=
∴∠P=30°，
∴CD=
故答案为：
（1）求证：AB平分∠CAE；
（2）若AD•BE=
正确答案
解：（1）∵⊙O中，AB弧等于BC弧，∴∠BAC=∠BCA，
又∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BCA，
因此，∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；
（2）∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BDA，
又∵∠AEB=∠DEA，
∴△AEB∽△DEA，可得
∵∠EAB=∠ADE=30°，
∴△ABE的面积S=
解析
解：（1）∵⊙O中，AB弧等于BC弧，∴∠BAC=∠BCA，
又∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BCA，
因此，∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；
（2）∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BDA，
又∵∠AEB=∠DEA，
∴△AEB∽△DEA，可得
∵∠EAB=∠ADE=30°，
∴△ABE的面积S=
正确答案
1
2
解析
解：∵在△PAC中，PA=2，∠PAC=90°，∠PCA=30°，
∴PC=4，AC=2
∵以AC为直径的圆交PC于点D，
∴PA2=PD•PC，即4=4PD，
∴PD=1，
∵PB为圆的切线，B为切点，
∴∠DBP=∠BCP，
∵∠DPB=∠BPC，
∴△DBP∽△BCP，
∴
∵PB=PA=2，CP=4，
∴
故答案为：1，2．
正确答案
证明：因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO=∠ACB=90°
又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，
所以
因为AC=2AD，
所以BC=2OD．
解析
证明：因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO=∠ACB=90°
又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，
所以
因为AC=2AD，
所以BC=2OD．
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