- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
B．（几何证明选讲选做题） 如图：PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，
正确答案
3
7
解析
解：A：圆ρ=3cosθ，它的直角坐标方程x2+y2-3x=0，圆心坐标（ 
故答案为：3．
B
则Rt△PAD中，由∠DPA=30°，
故CD=3，由切割线定理，得PA2=PC•PB，即 
故DB=8．
设圆O的半径为R，
由相交弦定理，CD•DB=AD•DE，即3×8=2（2R-2），
得R=7；
故答案为：7．
两弦相交，一弦被分为12cm和18cm两段，另一弦被分为3：8，求另一弦长______．
正确答案
33cm
解析
解：设另一弦长xcm；
由于另一弦被分为3：8的两段，
故两段的长分别为
有相交弦定理可得：
解得x=33
故答案为：33cm
正确答案
解析
解：∵PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ACP．
又∠P公用．
∴△PAB∽△PCA，
∴
∴
故答案为
如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，且CA平分∠BAE，DC是⊙O的切线，交AE的延长线于点D．求证：CD⊥AE．
正确答案
又∵CA平分∠BAE，∴∠OAC=∠EAC，
于是∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．
又∵DC是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∴CD⊥AE．
解析
又∵CA平分∠BAE，∴∠OAC=∠EAC，
于是∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．
又∵DC是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
∴CD⊥AE．
（1）求证：EF=FM；
（2）若圆O的半径为1，求EF的长．
正确答案
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵CD⊥AB，
∴A，E，M，N四点共圆，
∴∠FME=∠EAB，
∵EF是圆O的切线，
∴∠FEB=∠EAB，
∴∠EMF=∠FEB，
∴EF=FM；
（2）解：连接EC，
∵DE为圆O的直径，
∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=
∵圆O的半径为1，N为OB的中点，
∴EC=1，CD=
Rt△DEF中，EC2=FC•CD，∴FC=
∴EF2=FC•FD=
解析
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵CD⊥AB，
∴A，E，M，N四点共圆，
∴∠FME=∠EAB，
∵EF是圆O的切线，
∴∠FEB=∠EAB，
∴∠EMF=∠FEB，
∴EF=FM；
（2）解：连接EC，
∵DE为圆O的直径，
∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=
∵圆O的半径为1，N为OB的中点，
∴EC=1，CD=
Rt△DEF中，EC2=FC•CD，∴FC=
∴EF2=FC•FD=
A3
B2
C3
D2
正确答案
解析
解：∵PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC=2，PA=1，
∴4=1×PB，
∴PB=4，
△PBC中，BC=
故选：D．
正确答案
10
解析
解：设AB=2r，则
在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2r，
∴BC=AB•sin60°=
∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=
由切割线定理可得CD2=DE•DB，
∴（
∴AB=20，AC=10
故答案为：10．
PC的平行线交圆O于点D，BD的延长线交直线PA于点Q．
（1）求证：AB2=PB•AD；
（2）若PA=2AQ，AD=
正确答案
（1）证明：∵PO是圆O的切线，AD∥PB，
∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，
∴△PAB∽△BDA．
∴
∴AB2=PB•AD；
（2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，
∴
∵AD=
∴PB=3
∵PO是圆O的切线，PA=2AQ，
∴PB•PC=PA2=4QA2=QD•QB，
∴PC=
解析
（1）证明：∵PO是圆O的切线，AD∥PB，
∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，
∴△PAB∽△BDA．
∴
∴AB2=PB•AD；
（2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，
∴
∵AD=
∴PB=3
∵PO是圆O的切线，PA=2AQ，
∴PB•PC=PA2=4QA2=QD•QB，
∴PC=
正确答案
1
75°
解析
解：连接OC，
∵AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，
PD切圆O于点C．圆O半径为
∴PB=2-
∴PC2=PB•PA
=
∴PC=1．
在Rt△OCP中，
∵∠OCP=90°，PC=1，OP=2，
∴∠COP=30°，
∴∠OCA=15°，
∴∠ACD=90°-15°=75°．
故答案为：1，75°．
从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A、B为切点．求证：
正确答案
证明：
又AP=BP，③
由①②③知：
故
解析
证明：
又AP=BP，③
由①②③知：
故
（1）求证：ED2=EC•EB
（2）若BC是△ABC的外接圆的直径，且BC=2，CE=1．求AC长．
正确答案
（1）证明：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，
∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．
∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．
结合EA=ED，得ED2=EC•EB；
（2）解：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△EBA，
∴
∵BC=2，CE=1，
∴EA=
∵BC是△ABC的外接圆的直径，且BC=2，
∴AC=1．
解析
（1）证明：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，
∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．
∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．
结合EA=ED，得ED2=EC•EB；
（2）解：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△EBA，
∴
∵BC=2，CE=1，
∴EA=
∵BC是△ABC的外接圆的直径，且BC=2，
∴AC=1．
正确答案
解析
解：连结BC，
∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°
∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC=
又∵直线CD切圆O于C，∴∠DCA=∠B=60°
因此，Rt△ADC中，CD=
故答案为：
正确答案
4
解析
解：∵PA是圆O的切线，∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3．
∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，
∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3．
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圆O中，弦AC、BD相交于E，
∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，∴EC=4，
故答案为：4．
正确答案
30°
解析
解：∵∠B=90°，AB=4，BC为圆的直径
∴AB与圆相切，
由切割线定理得，
AB2=AD•AC
∴AC=8
故∠C=30°
故答案为：30°
如图所示，已知圆O的半径为2，从圆O外一点A引切线AB和割线AD，C为AD与圆O的交点，圆心O到AD的距离为
正确答案
3
解析
解：因为圆O的切线AB和割线AD，所以由切割线定理可知AB2=AC•AD，
圆心O到AD的距离为
所以CD=2
所以AB2=AC•（AC+CD），即 15=AC•（AC+2），
解得AC=3，
故答案为：3．
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