热门试卷

解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，

∵AB=3AD，

∴AD=2x，BD=4x，OD=x

又∵点C在直径AB上的射影为D，

在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，

在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，

故==8

故答案为：8

解：（1）过O作OE⊥BC于E，连接OA，交AB于F

∵PA与圆O切于A点，

∴PA2=PC•PB，即（2）2=1•PB，得PB=12

∴AB=PB-PC=11，可得BE=BC=5.5

∵PA与圆O切于A点，

∴OA⊥PA，得Rt△PAF中，AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4

∵Rt△OEF中，∠OFE=∠PFA=90°-30°=60°，EF=PB-BE-PF=2.5

∴OF==5，可得圆O的半径为R=OF+AF=7

（2）点A（）化成直角坐标为A（2，2），而圆C：ρ=4sinθ的直角坐标方程是x2+y2-4y=0

∵22+22-4×2=0

∴点A（2，2）适合圆C方程，得点A是圆C上的点

∵圆C的圆心为（0，2），得AC的斜率k==0，

∴过A与AC垂直的直线为x=2，即为过A点与圆C相切的直线

因此切线的极坐标方程是ρcosθ=2

故答案为：7    ρcosθ=2

解：∵∠BAC=∠APB，

∠C=∠BAP，

∴△PAB∽△ACB，

∴=

∴AB2=PB•BC=3×2=6，

∴AB=，

故答案为：．

解：∵AB=AC，AE=3，BD=4，

梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，

由切割线定理可知：AE2=EB•ED=EB（EB+BD），

即45=BE（BE+4），解得EB=5，

∵AC∥BD，∴AC∥BE，

∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，

∴∠BAE=∠C，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，

∴四边形AEBC是平行四边形，

∴EB=AC，∴AC=AB=BE=5，

∴BC=AE=3，

∵△AFC∽△DFB，∴=，即=，

解得CF=．

故答案为：．

解：∵CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，

∴由切割线定理可得CD2=CB•CA=1×9，

∴CD=3；

连接OD，则OD⊥DC，

∴cos∠COD=，

∴cos∠AOD=-，

∴AD==．

故答案为：3，．

解：连接AD，BC．

设CE=4x，AE=y，则DF=DE=3x，EF=6x

∵AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，

∴∠EAF=90°，∠ACD=∠DAF．

又∵D为Rt△AEF的斜边EF的中点，

∴DA=DE=DF，

∴∠DAF=∠AFD，

∴∠ACD=∠AFD，

∴AF=AC=8．

在Rt△AEF中，由勾股定理得EF2=AE2+AF2，即36x2=y2+320．

设BE=z，由相交弦定理得CE•DE=AE•BE，即yz=4x•3x=12x2，

∴y2+320=3yz①

又∵AD=DE，

∴∠DAE=∠AED．

又∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠BEC，

∴∠BCE=∠BEC，从而BC=BE=z．

在Rt△ACB中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即（y+z）2=320+z2，

∴y2+2yz=320．②

联立①②，解得y=8，z=16．

∴AB=AE+BE=24．

故答案为：24．

解：∵梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，

∴梯形是等腰梯形，又CD=5

∴AB=DC=5，

又BF是切线，

∴∠ABF=∠ACB，∠EAB=∠DCB=∠ABC

∴△ABE∽△BCA，

∴AB2=AE•BC，

∴AE=，

又由DA∥BC，可得出△FEA∽△FBC，

∴

∴FC=，

∵FB2=FA•FC

∴FB=，

又由△ABE∽△BCA可得出BE==

∴EF=

故答案为

解：连接BC，设AB，CD相交于点E，AE=x，

∵AB是线段CD的垂直平分线，

∴AB是圆的直径，∠ACB=90°，

则EB=6-x，CE=．由射影定理得CE2=AE•EB，

即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）或x=5，

∴BC2=BE•AB=1×6=6，即BC=．

故答案为：．