- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
正确答案
5
解析
解：首先由割线定理不难知道AB•AC=AD•AE，
于是AE=8，DE=5，又BD⊥AE，
故BE为直径，因此∠C=90°，
由勾股定理可知CE2=AE2-AC2=28，
故CE=
故填：5；
下列四边形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
正确答案
解析
解：∵矩形对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形四个顶点定可在同一个圆上．
故选：C．
正确答案
解：如图所示：连接CE，AO，AB．
根据A，E是半圆的圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB=90°，∠CBE=30°，∠AOB=60°，∠ECB=60°．
故△AOB是边长为2的等边三角形．
∵∠AOB=∠ECB，∴OA∥EC．
又BE⊥EC，∴BE⊥AO．
已知AD⊥BO，及△AOB为等边三角形．
∴点F为△AOB的垂心，即为中心，也为重心．
∴AF=
解析
解：如图所示：连接CE，AO，AB．
根据A，E是半圆的圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB=90°，∠CBE=30°，∠AOB=60°，∠ECB=60°．
故△AOB是边长为2的等边三角形．
∵∠AOB=∠ECB，∴OA∥EC．
又BE⊥EC，∴BE⊥AO．
已知AD⊥BO，及△AOB为等边三角形．
∴点F为△AOB的垂心，即为中心，也为重心．
∴AF=
正确答案
证明：连接EF．
∵B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC=∠EFD．（2分）
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
∴∠BAD+∠EFD=180°．（6分）
∴A，D，F，E四点共圆．（8分）
∵ED交AF于点G，
∴AG•GF=DG•GE．（10分）
解析
证明：连接EF．
∵B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC=∠EFD．（2分）
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
∴∠BAD+∠EFD=180°．（6分）
∴A，D，F，E四点共圆．（8分）
∵ED交AF于点G，
∴AG•GF=DG•GE．（10分）
（1）求证：△CDB∽△CBE；
（2）求证：A、E、B、C四点共圆．
正确答案
证明：（1）∵BC=
∴CD：CB=CB：CE，
又∵∠DCB=∠BCE，
∴△CDB∽△CBE；
（2）由（1）中△CDB∽△CBE；
∴∠DBC=∠BEC，
又∵EC平分∠AEB．
∴∠AEC=∠BEC，
∠DBC=∠AEC，
∴A、E、B、C四点共圆．
解析
证明：（1）∵BC=
∴CD：CB=CB：CE，
又∵∠DCB=∠BCE，
∴△CDB∽△CBE；
（2）由（1）中△CDB∽△CBE；
∴∠DBC=∠BEC，
又∵EC平分∠AEB．
∴∠AEC=∠BEC，
∠DBC=∠AEC，
∴A、E、B、C四点共圆．
正确答案
连结AF、CF、CD，则有∠AFB=∠ABF，∠AFC=∠ACF．
∵D在△ABC的外接圆上，
∴∠ACD=∠ABD，
从而∠AFD=∠ACD，
∴∠DCF=∠DFC，∴DF=CD．
∵AE⊥BF，AB=AF，
∴BE=EF=ED+DF=ED+CD．
解析
连结AF、CF、CD，则有∠AFB=∠ABF，∠AFC=∠ACF．
∵D在△ABC的外接圆上，
∴∠ACD=∠ABD，
从而∠AFD=∠ACD，
∴∠DCF=∠DFC，∴DF=CD．
∵AE⊥BF，AB=AF，
∴BE=EF=ED+DF=ED+CD．
正确答案
解析
解：∵EB、EC是圆O的两条切线，
∴EB=EC
又∵∠E=46°，
∴∠ECB=∠EBC=67°
又∵∠DCF=32°
∴∠BCD=81°
又由圆内接四边形对角互补
∴∠A=180°-81°=99°
正确答案
90°
解析
解：∵在△ABC中，
∴根据正弦定理知
∴sinC=
∵C是三角形的一个锐角，
∴C=45°，
∵∠AOB与∠C对应着圆的同一段弧，
∴∠AOB=90°，
故答案为：90°
（1）四边形ABCD的面积；
（2）圆O的直径．
正确答案
解：（1）连接AC，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB
=22+62-2×2×6•cosB
=40-24cosB
又AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cosD
=42+42-2×4×4•cosD
=32-32cosD
=32+32cosB
∴40-24cosB=32+32cosB
∴56cosB=8
∴
∴
（2）
∴
所以直径=
即圆O的直径是
解析
解：（1）连接AC，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB
=22+62-2×2×6•cosB
=40-24cosB
又AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cosD
=42+42-2×4×4•cosD
=32-32cosD
=32+32cosB
∴40-24cosB=32+32cosB
∴56cosB=8
∴
∴
（2）
∴
所以直径=
即圆O的直径是
求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．
正确答案
解析
连接OP、OQ、OB、OA，
∵O是△ABC的外心，
∴OE=OF，OB=OA，
由勾股定理得：BE2=OB2-OE2，AF2=OA2-OF2，
∴BE=AF，
∵AP=BQ，
∴PF=QE，
∵OE⊥AB，OF⊥AC
∴∠OFP=∠OEQ=90°，
∴Rt△OPF≌Rt△OQE，
∴∠P=∠Q，
∴O、A、P、Q四点共圆．
即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．
如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2
正确答案
解：连接OA、OB，过O作OE⊥AB，E为垂足，则AE=BE．
在Rt△AOE中，OA=2，AE=
∴sin∠AOE=
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=2∠AOE=120°，在优弧
∴∠ADB=
∴∠ACB=180°-∠ADB=120°．
解析
解：连接OA、OB，过O作OE⊥AB，E为垂足，则AE=BE．
在Rt△AOE中，OA=2，AE=
∴sin∠AOE=
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=2∠AOE=120°，在优弧
∴∠ADB=
∴∠ACB=180°-∠ADB=120°．
正确答案
解析
则点A坐标（2，3），点D坐标（3，0），
作AD中垂线交x轴于点O，则O为外接圆的圆心．
设O坐标为（0，y），
∵OA=OD，∴（0-2）2+（y-3）2=（0-3）2+（y-0）2，解得y=
∴O点坐标（0，
∴等腰梯形外接圆半径为
故答案为：
正确答案
证明：由于AD⊥BC，BE⊥CA，
∴点A，B，D，E四点共圆，
∴∠ADE=∠ABE，
又∵点F，B，C，E共圆，
∴∠FBE=∠FCE，
又因点C，A，F，D共圆，
∴∠FCA=∠FDA
∴可得∠ADE=∠FDA，即AD平分∠EDF．
解析
证明：由于AD⊥BC，BE⊥CA，
∴点A，B，D，E四点共圆，
∴∠ADE=∠ABE，
又∵点F，B，C，E共圆，
∴∠FBE=∠FCE，
又因点C，A，F，D共圆，
∴∠FCA=∠FDA
∴可得∠ADE=∠FDA，即AD平分∠EDF．
正确答案
4
解析
解：设AB与CD相交于E点，利用相交弦定理可得AE•EB=CE•ED，∴AE（8-AE）=12，化为AE2-8AE+12=0，
解得AE=2或6，取AE=2，则AC=
故答案为：4．
A6
B9-
C
D25-3
正确答案
解析
解：如图所示，
设AC=x，则BC=2x．
由相交弦定理可得：AC×BC=DC×CE，
∴2x2=2×（2+3+3），即x2=8，
过点O作OF⊥AB，垂直为F，则AF=FB=3
∴CF=
在Rt△OCF中，
故选C．
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