- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
正确答案
2
解析
解：先延长CM交圆M与点H．
在圆O中有：MD•DC=BD•DA=3；
在圆M中有：BD•DA=DE•DH=3
⇒DE•DH=（r-1）（1+r）=3⇒r=2（负值舍）．
故答案为：2．
正确答案
解析
∴∠CAB=60°
∵过点B，C的切线交于点P
∴∠PCB=∠PBC=60°
∴PC=PB=BC=
在直角△ABP中，AB=2，PB=
由切割线定理可得PB2=PD×PA
∴PD=
故答案为：
P是以O为圆心的圆外一点，OP=13cm，过点P作圆O的一条割线PQR，交圆O于Q、R两点，且PQ=9cm，QR=7cm，则圆的半径是______cmn．
正确答案
5
解析
解：设圆的半径是r，
∵在圆中有两条割线，
根据圆的切割线定理可以得到（13+r）（13-r）=9×（9+7）
∴169-r2=9×16，
∴r=5，
故答案为：5
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：
（1）AD•AE=AC2；
（2）FG∥AC．
正确答案
∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．
（2）由（1）有
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC．
解析
∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．
（2）由（1）有
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC．
正确答案
20π
解析
解：∵PC切圆O于点C，
∴根据切割线定理即可得出PC2=PA•PB，
∴42=8PA，解得PA=2．
∴
∴tanB=
∴sinB=
设△PBC的外接圆的半径为R，则
∴△PBC的外接圆的面积为20π
故答案为：20π
（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD
（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，
∴∠EBD=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CBD；
（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，
∴△EBD∽△EAB，
∴
∴AB•BE=AE•BD，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=DC，
∴AB•BE=AE•DC．
解析
证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，
∴∠EBD=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CBD；
（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，
∴△EBD∽△EAB，
∴
∴AB•BE=AE•BD，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=DC，
∴AB•BE=AE•DC．
正确答案
解析
解：设AB与CD相交于E点，利用相交弦定理可得AE•EB=CE•ED，∴AE（6-AE）=
解得AE=5或1，取AE=5，则
故答案为
如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，且PA=2，PB=1，则AB的长为______．
正确答案
解析
解：∵PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，
∴PA2=PB•PC，
∵PA=2，PB=1，
∴PC=4，BC=3，
∵△PAB∽△PCA，
∴
∴
∴AB=
故答案为：
如图，设直线l切圆O于点P，AB为圆O的任意一条不与l垂直的直径，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D．求证：PC=PD，且AP平分∠CAB．
正确答案
∵直线l与圆O相切于P点，
∴OP⊥l
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴OP∥AC∥BD，
∵OA=OB，∴PC=PD，
∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO
∵AC∥OP，得∠PAC=∠APO，
∴∠PAC=∠OAP，即AP平分∠CAB．
解析
∵直线l与圆O相切于P点，
∴OP⊥l
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴OP∥AC∥BD，
∵OA=OB，∴PC=PD，
∵OA=OP，∴∠OAP=∠APO
∵AC∥OP，得∠PAC=∠APO，
∴∠PAC=∠OAP，即AP平分∠CAB．
如图，圆的切线PA的长为4，PB=3，则BC的长为______．
正确答案
解析
解：∵圆的切线PA的长为4，PB=3，
由切割线定理可得PA2=PB•PC
故PB=
∴BC=PC-PB=
故答案为：
如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求AD•AE的值．
正确答案
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴
（ II）∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC2+AB2=BC2=225，
∴
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴
∴
解析
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴
（ II）∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC2+AB2=BC2=225，
∴
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴
∴
（Ⅰ）求证：OC平分∠BCD；
（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O半径R的值．
正确答案
∵CB是圆O的切线，∴∠ABC=90°，
∴∠BOC=∠A，∠DOC=∠ODA，…（2分）
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OB=OD，OC=OC，…（4分）
∴△OBC≌△ODC，
∴OC平分∠BCD．…（5分）
（Ⅱ）解：∵AO=OD，
∴∠DAO=∠DOC，
∵AB是直径，
∴∠OBC=∠ADB=90°．…（7分）
∴△BAD∽△COD，
∴AD•OC=AB•OD=8=2R2．…（9分）
∴R=2． …（10分）
解析
∵CB是圆O的切线，∴∠ABC=90°，
∴∠BOC=∠A，∠DOC=∠ODA，…（2分）
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OB=OD，OC=OC，…（4分）
∴△OBC≌△ODC，
∴OC平分∠BCD．…（5分）
（Ⅱ）解：∵AO=OD，
∴∠DAO=∠DOC，
∵AB是直径，
∴∠OBC=∠ADB=90°．…（7分）
∴△BAD∽△COD，
∴AD•OC=AB•OD=8=2R2．…（9分）
∴R=2． …（10分）
如图所示，AB是⊙O的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．若CB=2，CE=4，则AD的长为______．
正确答案
解析
解：设r是⊙O的半径．由切割线定理可知：CE2=CA•CB，
即42=（2r+2）×2，解得r=3．
因为EC是圆的切线，所以OE⊥EC，AD⊥DC，
所以△ADC∽△OEC，所以 
解得AD=
故答案为：
已知：如图，在△ABC中，AC=13，BC=14，AB=15，求△ABC外接圆⊙O的半径r．
正确答案
∵AC=13，BC=14，AB=15，
∴152=132+142-2×13×14×cosC，
∴cosC=
∴sinC=
∵∠D=∠C，
∴sinD=
∴AD=
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为
解析
∵AC=13，BC=14，AB=15，
∴152=132+142-2×13×14×cosC，
∴cosC=
∴sinC=
∵∠D=∠C，
∴sinD=
∴AD=
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：
（Ⅰ）AC•BD=AD•AB；
（Ⅱ）AC=AE．
正确答案
得∠CAB=∠ADB，
同理∠ACB=∠DAB，
所以△ACB∽△DAB，
从而
即 AC•BD=AD•AB．
（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，
得∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，
得△EAD∽△ABD，
从而
结合（Ⅰ）的结论，AC=AE．
解析
得∠CAB=∠ADB，
同理∠ACB=∠DAB，
所以△ACB∽△DAB，
从而
即 AC•BD=AD•AB．
（Ⅱ）由AD与⊙O相切于A，
得∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，
得△EAD∽△ABD，
从而
结合（Ⅰ）的结论，AC=AE．
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