- 直线与圆的位置关系
- 共2291题
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S=
正确答案
证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
（2）因为△ABE∽△ADC，
所以
即AB•AC=AD•AE．
又S=
且S=
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．
选做题
如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF．
正确答案
解：（I）在△ABC中，
因为∠B=60°所以∠BAC+∠HCA=120°
因为AD，CE是角平分线所以∠AHC=120°
于是∠EHD=∠AHC=120°
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四点共圆
（II）连接BH，则BH为∠ABC得平分线，
得∠HBD=30°
由（I）知B，D，H，E四点共圆所以∠CED=HBD=30°
又∠AHE=∠EBD=60°
由已知可得，EF⊥AD，
可得∠CEF=30°
所以CE平分∠DEF
已知PQRS是圆内接四边形，∠PSR=90°，过点Q作PR，PS的垂线，垂足分别为点H，K，
（Ⅰ）求证：Q，H，K，P四点共圆；
（Ⅱ）求证：QT=TS。
正确答案
证明：（Ⅰ）∵∠PHQ=∠PKQ=90°，
∴四点P，K，H，Q共圆；
（Ⅱ）∵四点P，K，H，Q共圆，
∴∠HKS=∠HQP，①
∴∠PSR=90°，PR为圆的直径，
∴∠PQR=90°，∠QRH=∠HQP，②
由①②得，∠QSP=∠HKS，
∴ST=TK，
又∠SKQ=90°，
∵∠SQK=∠TKQ，
∴QT=TK，
∴QT=TS。
选做题
如图，已知圆上的弧AC=弧BD，过C的圆的切线与
（1）证明：
（2）若
正确答案
解：（1）∵
又∵EC为圆的切线
∴∠ACE=∠ABC
∴∠ACE=∠BCD
(2)由圆内接四边形ABCD，
∴∠CDB=∠EAC∴∠EAC=∠BEC
由三角形BCE相似于三角形CDB
（选做题）
如图，ABCD是圆的内接四边形，AB∥CD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，
证明：（Ⅰ）∠DBC=∠AEC；
（Ⅱ）BC2=BE·CD。
正确答案
证明：（Ⅰ）因为
所以
又因为
所以
因为
所以
所以
故
（Ⅱ）
所以
又因为
所以
故
即
（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且BD·BE=BA·BF，
求证：（Ⅰ）EF⊥FB；
（Ⅱ）∠DFB+ ∠DBC=90°。
正确答案
证明：（Ⅰ）连接
在
∴
又
∴△ADB∽
则
∴EF⊥FB。
（Ⅱ）在
又
∴
∴
又
则
∴
已知△ABC 中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+
正确答案
解：（1）如图，设F为AD延长线上一点
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
对顶角∠EDF=∠ADB，
故∠EDF=∠CDF
即AD的延长线平分∠CDE。
（2）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC
连接OC，
由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，
∴∠OCH=60°
设圆半径为r，则r+
∴外接圆的面积为4π。
（选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC，
（1）求证：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3
正确答案
解：（1）∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠DAC=∠FBC，
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC。
（2）∵AB是圆的的直径，
∴∠ACD=90°，
∵
∴
在Rt△ACB中，
∵BC=3
∴AC=3，
又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，
∴AD=6。
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小。
正确答案
（Ⅰ）证明：连结OP，OM，
因为AP与⊙O相切于点P，
所以OP⊥AP，
因为M是⊙O的弦BC的中点，
所以OM⊥BC，
于是∠OPA+∠OMA=180°，
由圆心O在的内部，
可知四边形APOM的对角互补，
所以A，P，O，M四点共圆。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，
所以∠OAM=∠OPM，
由（Ⅰ）得OP⊥AP，
由圆心O在的内部，
可知∠OPM+∠APM=90°，
所以∠OAM+∠APM=90°。
如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则
正确答案
因为A，B，C，D四点共圆，
所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，
因为∠P为公共角，
所以△PBC∽△PAD，
所以
故答案为：
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，
正确答案
证明：连结AC，
因为EA切⊙O于A，
所以∠EAB=∠ACB，
因为
所以∠ACD=∠ACB，AB=AD，
于是∠EAB=∠ACD，
又四边形ABCD内接于⊙O，
所以∠ABE=∠D，
所以△ABE∽△CDA，
于是
所以
（选做题）
在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且AC=
正确答案
证明：“略”。
如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF，
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF。
正确答案
证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA-=120°，
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°，
于是∠EHD=∠AHC=120°，
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B，D，H，E四点共圆。
（Ⅱ）连结BH，
则BH为∠ABC的平分线，
得
由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，
所以
又
由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°，
所以CE平分∠DEF。
如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF，
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF。
正确答案
证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA-=120°，
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°，
于是∠EHD=∠AHC=120°，
因为∠EBD+∠EHD=180°，
所以B，D，H，E四点共圆。
（Ⅱ）连结BH，
则BH为∠ABC的平分线，
得
由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，
所以
又
由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°，
所以CE平分∠DEF。
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB=35°，则∠D=（ ）。
正确答案
125°
扫码查看完整答案与解析