函数y=Asin(ωX+φ)的单调性与周期性
共1115题

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题型：单选题

单选题

y=cos2x-是（　　）

A最小正周期为2π的偶函数

B最小正周期为2π的奇函数

C最小正周期为π的偶函数

D最小正周期为π的奇函数

正确答案

解析

解：根据y=cos2x-=-=cos2x，可得它是最小正周期为π的偶函数，

故选：C．

题型：简答题

简答题

已知函数，

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数f（x）的单调减区间；

（3）画出函数的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．

正确答案

解：（1），周期．

（2）由，得，

所以，减区间为．

（3）如图所示：g（x）无对称轴，对称中心为（）．

解析

解：（1），周期．

（2）由，得，

所以，减区间为．

（3）如图所示：g（x）无对称轴，对称中心为（）．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin2x+2cos2x+a

（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；

（2）当x∈[0，]时，函数f（x）有最大值4，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）函数f（x）=sin2x+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+）+a+1，

故函数的周期为=π．

令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的单调区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，函数f（x）的最大值为2+a+1=4，∴a=1．

解析

解：（1）函数f（x）=sin2x+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+）+a+1，

故函数的周期为=π．

令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的单调区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，函数f（x）的最大值为2+a+1=4，∴a=1．

题型：单选题

单选题

函数的最小正周期是（　　）

Bπ

C2π

D4π

正确答案

解析

解：对于y=sin，T=，

函数是函数y=sinx轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故T‘=T=2π，

故选C．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin+

（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；

（2）令g（x）=f（x+），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

正确答案

解：（1）由f（x）=sin+=2（sin+）=2sin（3分）

∴f（x）的最小正周期T==4π．（5分）

当sin=-1时，f（x）取得最小值-2；

当sin=1时，f（x）取得最大值2．（7分）

（2）由（1）知f（x）=2sin（）．又g（x）=f（x+），．

∴g（x）=2sin=2sin=2cos．（9分）

所以g（-x）=2cos=cos=g（x）．（11分）

∴函数g（x）是偶函数．（12分）

解析

解：（1）由f（x）=sin+=2（sin+）=2sin（3分）

∴f（x）的最小正周期T==4π．（5分）

当sin=-1时，f（x）取得最小值-2；

当sin=1时，f（x）取得最大值2．（7分）

（2）由（1）知f（x）=2sin（）．又g（x）=f（x+），．

∴g（x）=2sin=2sin=2cos．（9分）

所以g（-x）=2cos=cos=g（x）．（11分）

∴函数g（x）是偶函数．（12分）

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