函数y=Asin(ωX+φ)的单调性与周期性
共1115题

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题型：单选题

单选题

下列函数中既是周期函数，又在区间[-1，0]上单调递减的是（　　）

Af（x）=sin|x|

Bf（x）=tan|x|

Cf（x）=|sinx|

Df（x）=|cosx|

正确答案

解析

解：由于f（x）=sin|x|没有周期性，故排除A；

由于f（x）=tan|x|没有周期性，故排除B；

由于f（x）=|sinx|的周期为π，在区间[-1，0]上单调递减，故满足条件；

由于f（x）=|cosx|在区间[-1，0]上单调递增，故不满足条件，

故选：C．

题型：简答题

简答题

函数y=sin（2x+）的最小正周期是______．

正确答案

解：函数y=sin（2x+）的最小正周期是 =π，

故答案为：π．

解析

解：函数y=sin（2x+）的最小正周期是 =π，

故答案为：π．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=sin（2x+）+（x∈R）．

（1）求f（x）的最小正周期及区间[0，π]上的单调递减区间；

（2）若函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在[0，]上的最大值．

正确答案

解：（1）f（x）=sin（2x+）+，故f（x）的最小正周期T==π．

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

再根据x∈[0，π]，可得函数在区间[0，π]上的单调递减区间为[，]．

（2）由题意g（x）=f（x-）+=sin[2（x-）+]+=sin（2x-）+，

当x∈[0，]时，2x-∈[-，]，由于g（x）是[0，]上的增函数，

∴g（x）max=g（）=．

解析

解：（1）f（x）=sin（2x+）+，故f（x）的最小正周期T==π．

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

再根据x∈[0，π]，可得函数在区间[0，π]上的单调递减区间为[，]．

（2）由题意g（x）=f（x-）+=sin[2（x-）+]+=sin（2x-）+，

当x∈[0，]时，2x-∈[-，]，由于g（x）是[0，]上的增函数，

∴g（x）max=g（）=．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2cosxcos（-x）-sin2x+sinxcosx．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）设，求f（x）的值域．

正确答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxcos（-x）-sin2x+sinxcosx

=（cos2x-sin2x）+2sinxcosx

=．

∴f（x）的最小正周期为π．

（Ⅱ）∵，

∴，

又，

∴，

f（x）的值域为．

解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxcos（-x）-sin2x+sinxcosx

=（cos2x-sin2x）+2sinxcosx

=．

∴f（x）的最小正周期为π．

（Ⅱ）∵，

∴，

又，

∴，

f（x）的值域为．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+1．

（1）求函数f（x）的最小正周期及单调减区间；

（2）f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，

故函数的最小正周期为=π．

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（2）∵f（x0）=2sin（2x0+）+2=，∴sin（2x0+）=，x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）=-，

∴cos2x0=cos[（2x0+）-]=cos（2x0+）cos-sin（2x0+）sin=-×-×=-．

解析

解：（1）∵函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，

故函数的最小正周期为=π．

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（2）∵f（x0）=2sin（2x0+）+2=，∴sin（2x0+）=，x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）=-，

∴cos2x0=cos[（2x0+）-]=cos（2x0+）cos-sin（2x0+）sin=-×-×=-．

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