函数y=Asin(ωX+φ)的单调性与周期性
共1115题

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函数y=Asin(ωX+φ)的单调性与周期性
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题型：简答题

简答题

已知函数，

（1）求函数f（x）的周期；

（2）求函数f（x）单调增区间；

（3）求函数f（x）在x∈[0，]的值域．

正确答案

解：（1）函数=cos2x+sin2x=2（cos2x+sin2x）=2sin（+2x），∴周期T===π．

（2）由 2kπ-≤+2x≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，

故函数f（x）单调增区间为[kπ-，kπ+]．

（3）∵0≤x≤，∴≤+2x≤，∴-≤sin（ +2x）≤1，

∴-1≤2sin（ +2x）≤2，故函数f（x）在x∈[0，]的值域为[-1，2]．

解析

解：（1）函数=cos2x+sin2x=2（cos2x+sin2x）=2sin（+2x），∴周期T===π．

（2）由 2kπ-≤+2x≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，

故函数f（x）单调增区间为[kπ-，kπ+]．

（3）∵0≤x≤，∴≤+2x≤，∴-≤sin（ +2x）≤1，

∴-1≤2sin（ +2x）≤2，故函数f（x）在x∈[0，]的值域为[-1，2]．

题型：填空题

填空题

若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω=______．

正确答案

解析

解：由于函数f（x）=sin=sin•cos=sinωx的最小正周期为π，

则=π，∴ω=2，

故答案为：2．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x-2．

（I）求函数f（x）的最小正周期；

（II）当时，求函数f（x）的最大值，最小值．

正确答案

解：（I）．（3分）

∴f（x）的最小正周期为π；（5分）

（II）．∵，∴，（7分）

∴（10分）

∴．（12分）

∴当时，函数f（x）的最大值为1，最小值．

解析

解：（I）．（3分）

∴f（x）的最小正周期为π；（5分）

（II）．∵，∴，（7分）

∴（10分）

∴．（12分）

∴当时，函数f（x）的最大值为1，最小值．

题型：单选题

单选题

设函数，则下列结论正确的是（　　）

①f（x）的图象关于直线对称；

②f（x）的图象关于点对称；

③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象；

④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．

A①③

B②④

C①③④

D③④

正确答案

解析

解：∵函数，

由2x-=kπ，k∈z，可得x=+，k∈z，故函数的对称轴方程为x=+，k∈z，故排除①．

由2x-=kπ+，k∈z，可得x=+，k∈z，故函数的对称中心为（ +，0），故排除②．

把f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y==cos2x的图象，故③正确．

函数的最小正周期为π，由 2kπ-π≤2x-≤2kπ，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，

故函数在上为增函数，故④正确．

故选 D．

题型：单选题

单选题

下列函数中，最小正周期为π的是（　　）

Ay=sinx

Dy=cos4x

正确答案

解析

解：y=sinx的最小正周期为2π，不满足题意；的最小正周期是π，满足题意；

的最小正周期是2π，不满足题意；y=cos4x的最小正周期是不满足题意；

故选：B．

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