函数y=Asin(ωX+φ)的单调性与周期性
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题型：单选题

单选题

函数y=sin4x的周期是（　　）

Aπ/2

B2π

Cπ/4

D4π

正确答案

解析

解：由于函数y=Asin（ωx+∅）的周期是 T=，故函数y=sin4x的周期是 =，

故选A．

题型：简答题

简答题

已知f（x）=sin2wx+sin2wx-（x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期为2π．

（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；

（2）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）由已知f（x）=sin2wx+sin2wx-

=（1-cos2wx）+sin2wx-

=sin2wx-cos2wx

=sin（2wx-）．

又由f（x）的周期为2π，则2π=⇒2w=1⇒w=，

⇒f（x）=sin（x-），

2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）⇒2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），

即f（x）的单调递增区间为

[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）．

（2）由x∈[-，]⇒-≤x≤

⇒--≤x-≤-⇒-≤x-≤

⇒sin（-）≤sin（x-）≤sin．∴-≤sin（x-）≤1．

故f（x）在区间[-，]的最大值和最小值分别为1和-．

解析

解：（1）由已知f（x）=sin2wx+sin2wx-

=（1-cos2wx）+sin2wx-

=sin2wx-cos2wx

=sin（2wx-）．

又由f（x）的周期为2π，则2π=⇒2w=1⇒w=，

⇒f（x）=sin（x-），

2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）⇒2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），

即f（x）的单调递增区间为

[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）．

（2）由x∈[-，]⇒-≤x≤

⇒--≤x-≤-⇒-≤x-≤

⇒sin（-）≤sin（x-）≤sin．∴-≤sin（x-）≤1．

故f（x）在区间[-，]的最大值和最小值分别为1和-．

题型：单选题

单选题

设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a、b、α、β均为非零实数，若f（1988）=3，则f（2013）的值为（　　）

D不确定

正确答案

解析

解：∵f（1988）=3，∴asin（1988π+α）+bcos（1988π+β）+4=3，得asinα+bcosβ=-1．

∴f（2013）=asin（2013π+α）+bcos（2013π+β）+4=-（asinα+bcosβ）+4=-（-1）+4=5．

故选B．

题型：单选题

单选题

函数y=2sin（πx+）的最小正周期为（　　）

Aπ

C2π

正确答案

解析

解：函数y=2sin（πx+）的最小正周期为=2，

故选：B．

题型：填空题

填空题

已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象的对称中心坐标是______．

正确答案

解析

解：∵函数的最小正周期为π，

∴=π，又ω＞0，

∴ω=2，

∴f（x）=sin（2x+），

令2x+=kπ，解得x=-+，k∈Z，

则该函数图象的对称中心坐标是（-+，0），k∈Z．

故答案为：（-+，0），k∈Z

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