热门试卷

B  

试题分析：设半径为的两个球的球心为，半径为2的两个球的球心为，与这4个球都外切的小球的球心为，半径为，连接，得到四棱锥，则，

，连接，取的中点分别为，连接，在中，，同理，为等腰三角形，，同理可证，是异面直线的公垂线，又分别是的中点，

在线段上，在中，，同理得

，在中，，又，由此可得

，解得，负值舍去。

（1）见解析（2）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时（3）24.

(1)证明：在△ABD中，

∵AD＝4，BD＝4，AB＝8，∴AD2＋BD2＝AB2.

∴AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD.

又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.

(2)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，

PA∥平面MBD.

证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN.

∵AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形．

∵AB＝2CD，

∴CN∶NA＝1∶2.

又∵CM∶MP＝1∶2，∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN.

∵MN⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，∴PA∥平面MBD.

(3)过点P作PO⊥AD交AD于O，

∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.

即PO为四棱锥P－ABCD的高．

又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝×4＝2.

在Rt△ADB中，斜边AB上的高为＝2，此即为梯形ABCD的高．

梯形ABCD的面积SABCD＝×2＝12.

四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×12×2＝24.

(1)2    (2)

(1)在四棱锥P-ABCD中,

∵PO⊥平面ABCD,

∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,

即∠PBO=60°.

在Rt△POB中,

∵BO=AB·sin30°=1,

又PO⊥OB,

∴PO=BO·tan60°=,

∵底面菱形的面积S菱形ABCD=2.

∴四棱锥P -ABCD的体积

VP -ABCD=×2×=2.

(2)取AB的中点F,连接EF,DF,

∵E为PB中点,

∴EF∥PA.

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角).

在Rt△AOB中,

AO=AB·cos30°==OP,

∴在Rt△POA中,PA=,

∴EF=.

∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,

∴△ABD为正三角形.

又∵∠PBO=60°,BO=1,

∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,

∴DF=DE=,

∴cos∠DEF=

===.

即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.