平行线分线段成比例定理_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．

求证：FG∥AC．

正确答案

证明：∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2=AD•AE．

∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即．

又∵∠CAE公用，∴△ACE∽△ADC．

∴∠AEC=∠ACD．

由四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG=∠AEC．

∴∠ACD=∠CFG，

∴FG∥AC．

解析

证明：∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2=AD•AE．

∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即．

又∵∠CAE公用，∴△ACE∽△ADC．

∴∠AEC=∠ACD．

由四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG=∠AEC．

∴∠ACD=∠CFG，

∴FG∥AC．

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题型：单选题

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单选题

如图，在正方形ABCD中，E是AB中点，F是AD上一点，且AF=AD，EG⊥CF与G，则下列式子中不成立的是（　　）

AEF•EC=EG•FC

BEC2=CG•GF

CAE2+AF2=FG•FC

DEG2=GF•GC

正确答案

B

解析

解：由题意，正方形ABCD中，E是AB中点，F是AD上一点，且AF=AD，

∴△AEF∽△BCE，

∴∠AEF=∠BCE，

∴∠FEC=90°

∵EG⊥CF，

∴EF•EC=EG•FC，AE2+AF2=EF2=FG•FC，EG2=GF•GC

即A，C，D正确，

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，且CP=CQ，若△CPQ的面积为，则∠BCP的大小为______．

正确答案

30°

解析

解：设∠BCP=∠DCQ=α，

则CP=CQ=，∠PCQ=90°-2α，

∴S△CPQ=••sin（90°-2α）==，

∴cos2α=，

∵0＜α＜45°，

∴α=30°，

故答案为：30°．

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若DB=，则DC=______．

正确答案

解析

解：∵A、B、C、D共圆，∴∠DAE=∠BCD．

又∵∠DAC=∠DBC，∠DAE=∠DAC，

∴∠DBC=∠DCB，

∴CD=BD=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知⊙O的直径AB=8，⊙B与⊙O相交于点C、D，⊙O的直径CF与⊙B相交于点E，设⊙B的半径为x，OE的长为y．

（1）如图，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；

（3）设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如果能，请直接写出的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由．

正确答案

解：（1）连接BE，∵⊙O的直径AB=8，∴OC=OBAB=4．∵BC=BE，

∴∠BEC=∠C=∠CBO．∴△BCE∽△OCB．

∵CE=OC-OE=4-y∴

∴y关于x的函数解析式为y=4-，定义域为0＜x≤4；

（2）作BM⊥CE，垂足为M，∵CE是⊙B的弦，∴EM=．

设两圆的公共弦CD与AB相交于H，则AB垂直平分CD．

∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM

当点E在线段OC上时，EM==（OC-OE）=，

∴OM=EM+OE=，

∴BM=，∴CD=2CH=2BM=．

当点E在线段OF上时，EM═=（OC+OE）=，

∴OM=EM-OE=

∴BM=．

∴CD=2CH=2BM=3；

（3）△OEG能为等腰三角形，的长度为或．

解析

解：（1）连接BE，∵⊙O的直径AB=8，∴OC=OBAB=4．∵BC=BE，

∴∠BEC=∠C=∠CBO．∴△BCE∽△OCB．

∵CE=OC-OE=4-y∴

∴y关于x的函数解析式为y=4-，定义域为0＜x≤4；

（2）作BM⊥CE，垂足为M，∵CE是⊙B的弦，∴EM=．

设两圆的公共弦CD与AB相交于H，则AB垂直平分CD．

∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM

当点E在线段OC上时，EM==（OC-OE）=，

∴OM=EM+OE=，

∴BM=，∴CD=2CH=2BM=．

当点E在线段OF上时，EM═=（OC+OE）=，

∴OM=EM-OE=

∴BM=．

∴CD=2CH=2BM=3；

（3）△OEG能为等腰三角形，的长度为或．

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题型：简答题

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简答题

如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，圆心P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F．

（I）求证：四点B、P、E、F共圆；

（II）若CD=2，，求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径．

正确答案

证明：（I）连接PB．∵BC切⊙P于点B，

∴PB⊥BC．

又∵EF⊥CE，且∠PCB=∠FCE，

∴Rt△CBP∽Rt△CEF，

∴∠CPB=∠CFE，

∴∠EPB+∠EFB=180°，

∴四点B，P，E，F共圆（5分）

（II）∵四点B，P，E，F共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，

∴此圆的直径就是PF．

∵BC切⊙P于点B，且，

∴由切割线定理CB2=CD•CE，得：CE=4，DE=2，BP=1．

又∵Rt△CBP∽Rt△CEF，∴EF：PB=CE：CB，得．

在Rt△FEP中，，

即由四点B，P，E，F确定圆的直径为（10分）

解析

证明：（I）连接PB．∵BC切⊙P于点B，

∴PB⊥BC．

又∵EF⊥CE，且∠PCB=∠FCE，

∴Rt△CBP∽Rt△CEF，

∴∠CPB=∠CFE，

∴∠EPB+∠EFB=180°，

∴四点B，P，E，F共圆（5分）

（II）∵四点B，P，E，F共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，

∴此圆的直径就是PF．

∵BC切⊙P于点B，且，

∴由切割线定理CB2=CD•CE，得：CE=4，DE=2，BP=1．

又∵Rt△CBP∽Rt△CEF，∴EF：PB=CE：CB，得．

在Rt△FEP中，，

即由四点B，P，E，F确定圆的直径为（10分）

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题型：填空题

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填空题

选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交圆O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：AE2=EF•BE．

正确答案

解析

解：∵△ACD中，CD=AC，∴∠CAD=∠D

∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D

∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB

∵∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D

∴∠ABC=2∠D=2∠EBC，从而∠ABE=∠EBC=∠FAE

又∵∠AEB=∠FEA，∴△AEB∽△FEA

由此可得，即AE2=EF•BE．

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题型：单选题

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单选题

如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC，则BD的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC，

∴根据内角平分线定理可知，

∴=，

∴BD==，

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

如图，E，F是边长为3的正方形ABCD的边AD上两个点，且AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若|CH|2：|CE|2=9：10，则AE的长为______．

正确答案

1

解析

解：如图所示，建立直角坐标系．

设E（a，3）（0＜a＜3），则F（3-a，3）．

直线BD的方程：y=x，

CF的方程为：，化为y=，

联立，解得G．

直线AG的方程为：，化为y=-x+3．

直线BE的方程为：，

联立，解得H．

|CH|=，

|CE|=．

∵|CH|2：|CE|2=9：10，

∴=9[（3-a）2+9]

解得a=1．

∴|AE|=1．

故答案为：1．

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题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，|DC|=|BE|，DG⊥CE于G，且|EC|=8，则|EG|=______．

正确答案

4

解析

解：因为AD是高线，CE是中线，

所以|ED|=|BE|，

因为|DC|=|BE|，

所以|ED|=|DC|．

又因为DG⊥CE于G，

所以线段CG垂直并且平分线段CE．

因为|EC|=8，

所以|EG|=4．

故答案为：4．

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