- 相似三角形的判定及性质
- 共36题
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cosB=,BC=26.
求:(1)cos∠DAC的值;
(2)线段AD的长.
正确答案
解:(1)由cosB=和BC=26,可求得,AB=10------(2分)
可证得:∠ACB=∠ACD=∠DAC,由勾股定理可求得AC=24,
∴cos∠DAC=cos∠ACB==.------(3分)
(2)取AC中点E,连接DE,AE=12,cos∠DAC=.
由等腰△ADC三线合一得DE⊥AC,
∴Rt△AED中AD==13------(3分)
解析
解:(1)由cosB=和BC=26,可求得,AB=10------(2分)
可证得:∠ACB=∠ACD=∠DAC,由勾股定理可求得AC=24,
∴cos∠DAC=cos∠ACB==.------(3分)
(2)取AC中点E,连接DE,AE=12,cos∠DAC=.
由等腰△ADC三线合一得DE⊥AC,
∴Rt△AED中AD==13------(3分)
如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则圆O的半径等于______.
正确答案
5
解析
解:AB为圆的直径,
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD,
∴16=8×AD,
∴AD=2,
∴半径==5
故答案为:5
如图,在矩形ABCD中,BD为对角线,AE⊥BD,,AD=1,则BE=( )
正确答案
解析
解:矩形各内角为直角,∴△ABD为直角三角形
在直角△ABD中,,AD=1,
则BD==,
再由射影定理,得AB2=BE×BD
∴
故选B.
已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为a,则+的取值范围为______.
正确答案
[2,]
解析
解:由余弦定理b2+c2=a2+2cosAbc
由面积公式bcsinA=a2,
∴b2+c2=bc(sinA+2cosA)
∴+==sinA+2cosA=sin(A+φ),(tanφ=2)
∵sin(A+φ)≤,
∴+≤,
∵+≥2=2,
∴+的取值范围为[2,]
故答案为:[2,]
在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,CD⊥AB于D,AB=a,则DB=( )
正确答案
解析
解:如图所示,
△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,
∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°;
∴BC=AB;
又∵CD⊥AB于D,AB=a,
∴∠BCD=30°,
∴DB=BC=AB=.
故选:A.
设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径做半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段______的长度是a,b的几何平均数,线段______的长度是a,b的调和平均数.
正确答案
CD
DE
解析
解:在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得CD2=AC•CB,
∴,即CD长度为a,b的几何平均数,
将OC=代入OD•CE=OC•CD
可得
故,
∴ED=OD-OE=,
∴DE的长度为a,b的调和平均数.
故选CD;DE
设AB是已知圆的直径(如图),C是线段AB上一点,D是此圆周上一点(不同于A、B),且,则在下列结论中错误的是( )
正确答案
解析
解:∵|AB|=a+b=2|CD|,∴A正确;
延长DC至E,则AC×CB=DC×CE,∵,∴,
∴C是DE的中点,∴AB⊥CD,∴,故B正确;
∵AB是已知圆的直径,∴AD⊥BD,∴,故C正确;
∵AD|2+|BD|2=|AB|2=(a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=4ab=4|CD|2,故D不正确;
故选D.
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,BC=,AC=3,则BD=______.
正确答案
解析
解:由勾股定理得AB===2.由直角三角形射影定理,BC2=BD×BA,3=2×BD,BD=
故答案为:
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,△ABC为边长为2的正三角形,点P在A1B上,且AB⊥CP.
(1)证明:P为A1B中点.
(2)若A1B⊥AC1,求二面角B1-PC-B的余弦值.
正确答案
解:(1)证明:取AB中点Q,∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP,∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ,A1A⊥AB
得A1A∥PQ,点Q是AB的中点
∴P为A1B的中点(4分)
(2)连接AB1,取AC中点R,连接A1R,
则BR⊥平面A1C1CA,∴BR⊥AC1,由已知A1B⊥AC1,∴A1R⊥AC1,∴△AC1C~△A1RA∴,∴(6分)
则,则AC=2
连B1A,B1R,BR,∵AC⊥平面B1BR,∴平面B1AC⊥平面B1BR,
平面B1AC∩平面B1BR=B1R,过B作BH⊥B1R,垂足为H,
则BH⊥平面B1PC,过B作BG⊥PC,
连接GH,那么∠BGH为二面角B1-PC-B的平面角(8分)
在△B1BR中,在△PBC中,(10分)∴∴(12分)
解析
解:(1)证明:取AB中点Q,∴CQ⊥AB
又∵AB⊥CP,∴AB⊥平面CPO∴AB⊥PQ,A1A⊥AB
得A1A∥PQ,点Q是AB的中点
∴P为A1B的中点(4分)
(2)连接AB1,取AC中点R,连接A1R,
则BR⊥平面A1C1CA,∴BR⊥AC1,由已知A1B⊥AC1,∴A1R⊥AC1,∴△AC1C~△A1RA∴,∴(6分)
则,则AC=2
连B1A,B1R,BR,∵AC⊥平面B1BR,∴平面B1AC⊥平面B1BR,
平面B1AC∩平面B1BR=B1R,过B作BH⊥B1R,垂足为H,
则BH⊥平面B1PC,过B作BG⊥PC,
连接GH,那么∠BGH为二面角B1-PC-B的平面角(8分)
在△B1BR中,在△PBC中,(10分)∴∴(12分)
已知圆O的直径AB=4,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D,若CD=,则AC的值为______.
正确答案
解:连接BC,∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB,∴CD2=AD•DB,设AD=x,则,化为x2-4x+3=0,
解得x=1或3.当AD=1时,=2;
当AD=3时,=.
综上可知:AC=2或.
解析
解:连接BC,∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB,∴CD2=AD•DB,设AD=x,则,化为x2-4x+3=0,
解得x=1或3.当AD=1时,=2;
当AD=3时,=.
综上可知:AC=2或.
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