平行线分线段成比例定理_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知：如图三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，AE=EB，ED交BC于F，求证：AC2=BC•BF．

正确答案

证明：因为△ABC中，AB=AC，∠A=36°所以∠ABC=∠ACB=72°

因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=36°=∠A

所以AD=DB，

因为AE=EB，ED交BC于F，

所以EF垂直平分AB，

所以AF=BF，

所以△ABC∽△FAB，

∴，

因为AB=AC，

所以AC2=BC•BF．

解析

证明：因为△ABC中，AB=AC，∠A=36°所以∠ABC=∠ACB=72°

因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=36°=∠A

所以AD=DB，

因为AE=EB，ED交BC于F，

所以EF垂直平分AB，

所以AF=BF，

所以△ABC∽△FAB，

∴，

因为AB=AC，

所以AC2=BC•BF．

1

题型：填空题

|

填空题

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，延长AB到点E，使∠BEC=∠CAD．若AC=，CD=CE=1，则BC=______．

正确答案

解析

解：在等腰梯形ABCD中，∠BAD+∠ADC=180°，∠BEC=∠CAD，

∵∠ABC+∠CBE=180°，

∴∠ADC=∠CBE，

∵∠BEC=∠CAD，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

∵AC=，CD=CE=1，

∴BC=．

故答案为：．

1

题型：单选题

|

单选题

如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，BF⊥CE于F，那么S△BFC：S正方形ABCD=（　　）

A1：3

B1：4

C1：5

D1：6

正确答案

C

解析

解：设正方形ABCD的边长为2a，

∵E是AB的中点，

∴BE=a，

∴CE==a，

∵BF⊥CE，

∴∠EBC=∠BFC=90°，

∵∠ECB=∠BCF，

∴△BCF∽△EBC．

∴BC：EC=2：．

∴S△BFC：S△EBC=4：5．

∵S正方形ABCD=4S△EBC，

∴S△BFC：S正方形ABCD=1：5．

故选C．

1

题型：简答题

|

简答题

（2015秋•邯郸校级月考）如图：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．以AB为直径的⊙O交OC于D，AD的延长线交BC于E，过点D作⊙O的切线DF交BC于F，连OF．⊙C切⊙O于点D，交BC于G．

（1）求证：OF∥AE．

（2）求的值．

正确答案

（1）证明：

∵DF为⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∴∠FDO=90°

又∵∠ABC=90°，OD=OB，OF=OF，

∴在RT△OFD和RT△OFB中，OD=OB，OF=OF，

∴RT△OFD≌RT△OFB（HL），

∴∠FOD=∠FOB，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

又∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，

∴∠FOB=∠OAD，

∴OF∥AE．

（2）解：连接BD交OF于H，

∵AB是直径，

∴BD⊥AE，

∴∠BDE=90°，

∵∠BAD=∠EAB，

∴△ABD∽△ABE，

∴AB2=AE•AD，

同理可证△BDE∽△ABE，

∴BE2=DE•AE，

∵∠FCD=∠OCB，∠CDF=∠CBO=90°，

∴△CDF∽△CBO，

∴DF：CD=OB：BC=1：2，

∴DF=CD=R，

∵BC是⊙O的切线，

∴DF=BF，

∴DF是△BDE的中线，

∴BE=2DF=（-1）R，

∴DE：AD=BE2：AB2=．

解析

（1）证明：

∵DF为⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∴∠FDO=90°

又∵∠ABC=90°，OD=OB，OF=OF，

∴在RT△OFD和RT△OFB中，OD=OB，OF=OF，

∴RT△OFD≌RT△OFB（HL），

∴∠FOD=∠FOB，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

又∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，

∴∠FOB=∠OAD，

∴OF∥AE．

（2）解：连接BD交OF于H，

∵AB是直径，

∴BD⊥AE，

∴∠BDE=90°，

∵∠BAD=∠EAB，

∴△ABD∽△ABE，

∴AB2=AE•AD，

同理可证△BDE∽△ABE，

∴BE2=DE•AE，

∵∠FCD=∠OCB，∠CDF=∠CBO=90°，

∴△CDF∽△CBO，

∴DF：CD=OB：BC=1：2，

∴DF=CD=R，

∵BC是⊙O的切线，

∴DF=BF，

∴DF是△BDE的中线，

∴BE=2DF=（-1）R，

∴DE：AD=BE2：AB2=．

1

题型：简答题

|

简答题

已知：如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥DE交CB延长线于点F．若，求EF的长．

正确答案

解：设⊙P 的半径为 r，Rt△CBP中，由勾股定理得 8+r2=（2+r）2，

∴r=1．由Rt△CBP和R t△CEF相似可得 =，即 =，

∴．

解析

解：设⊙P 的半径为 r，Rt△CBP中，由勾股定理得 8+r2=（2+r）2，

∴r=1．由Rt△CBP和R t△CEF相似可得 =，即 =，

∴．

1

题型：填空题

|

填空题

（几何证明选讲选选做题）如图，圆的两条弦AC、BD相交于P，弧AB、BC、CD、DA的度数分别为60°、105°、90°、105°，则=______．

正确答案

解析

解：连接AB，CD

∵弧AB、CD、的度数分别为60°、90°，

∴弦AB的长度等于半径，弦CD的长度等于半径的倍，

即，

∵∠A=∠D，∠C=∠B，

∴△ABP∽△CDP

∴

∴，

故答案为：

1

题型：单选题

|

单选题

如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，∠ABC的平分线交BC的平行线于点D，则△ABD的面积为（　　）

A3

B

C3

D6

正确答案

A

解析

解：∵AB=AC=3，BC=2，∠ABC的平分线交BC的平行线于点D，

∴AD=AB=3，

∵BC上的高为=2，

∴AD上的高为2，

∴△ABD的面积为=3，

故选：A．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．

（1）求证：△ABE∽△ADC；

（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．

正确答案

（1）证明：∵AE是直径，∴…（1分）

又∵∠AEB=∠ACD…（2分）

∴△ABE∽△ADC…（4分）

（2）解：∵过点A作圆的切线交BC的延长线于点F，

∴AF2=FC•FB

∴FA=2，…（5分）

∴AD=2…（7分）

∴AC=2 …（8分）

∴AB=6，…（9分）

由（1）得

∴AE=6

∴△ABC的外接圆的半径为3．…（10分）

解析

（1）证明：∵AE是直径，∴…（1分）

又∵∠AEB=∠ACD…（2分）

∴△ABE∽△ADC…（4分）

（2）解：∵过点A作圆的切线交BC的延长线于点F，

∴AF2=FC•FB

∴FA=2，…（5分）

∴AD=2…（7分）

∴AC=2 …（8分）

∴AB=6，…（9分）

由（1）得

∴AE=6

∴△ABC的外接圆的半径为3．…（10分）

1

题型：填空题

|

填空题

如图，BD平分∠ABC，AB=12，BC=15，如果∠ADB=∠C，则BD的长为______．

正确答案

解析

解：由已知，BD平分∠ABC，

得∠ABD=∠DBC，又∠ADB=∠C，

得△ABD∽△DBC，

∴，

又AB=12，BC=15，

∴．

故答案为：．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）试比较BE与EF的长度关系．

正确答案

解：（I）∵过A点的切线交DC的延长线于P，

∴PA2=PC•PD，

∵PC=1，PA=2，

∴PD=4

又PC=ED=1，∴CE=2，

∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，

∴△PAC∽△CBA，

∴，

∴AC2=PC•AB=2，

∴AC=； …（5分）

（II），

由相交弦定理可得CE•ED=BE•EF．

∵CE=2，ED=1，

∴EF=，

∴EF=BE．…（10分）

解析

解：（I）∵过A点的切线交DC的延长线于P，

∴PA2=PC•PD，

∵PC=1，PA=2，

∴PD=4

又PC=ED=1，∴CE=2，

∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，

∴△PAC∽△CBA，

∴，

∴AC2=PC•AB=2，

∴AC=； …（5分）

（II），

由相交弦定理可得CE•ED=BE•EF．

∵CE=2，ED=1，

∴EF=，

∴EF=BE．…（10分）

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析