热门试卷

解：如图所示，

∵D是BC边的中点，BC=4，

∴BD=2．

在△ABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2-2AD•BDcosB=12+22-2×1×2×cos60°=3．

∴．

故答案为：．

证明：（1）由割线定理得EA•EC=BE•DE，

∴BE•DE+AC•CE=EA•CE+AC•CE=CE2，

∴BE•DE+AC•CE=CE2；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ECB=90°．

又EF⊥BF，即∠EFB=90°

∴E，F，C，B四点共圆．

证明：设AD∩CE=0，在AC上取一点F，使CF=CD，

所以∠B=60°，所以∠OAC+∠OCA=60°，∠AOC=120°…..（4分）

因为△OFC≌△ODC，所以∠FOC=∠DOC=60°

得到∠AOE=∠AOF=60°

所以△AOF≌△AOE，得到AE=AF

所以AE+CD=AC…..（10分）

证明：（1）如图，连接PC，

∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，

∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，

∴四边形PECF为矩形，

∴PC=EF，

又∵P为BD上任意一点，

∴PA、PC关于BD对称，

可以得出，PA=PC，所以EF=AP．

（2）如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠C=∠ABC=90°，

又∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴四边形PECF为矩形，

同理四边形BCFG也为矩形，

∴PE=FC=GB，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠GBD=45°，

又∵PG⊥AB，PE⊥BC，

∴四边形PEBG是正方形

∴PG=BG=PE，

又∵AB=BC=CD，

∴AG=EC=PF，

在△PAG和△EFP中，，

∴△PAG≌△EFP（SAS），

∴∠APG=∠FEP=∠FPH，

∵∠FEP+∠PFH=90°，

∴∠FPH+∠PFH=90°，

∴AP⊥EF．

证明：（1）∵CD为圆O的切线，C为切点，AB为圆O的直径，

∴OC⊥CD…（1分）

又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠CAE…（3分）

又OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OAC=∠CAE，∴BC=CE…（5分）

（2）由弦切角定理可知，∠FCB=∠OAC，

∴∠FCB=∠CAE，

∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，

∴∠ABC+∠CEA=180°…（8分）

又∠ABC+∠FBC=180°，

∴∠FBC=∠CEA，

∴△BCF∽△EAC…（10分）

（1）证明：∵AB∥CD，∴=，

∵AD∥BC，∴=，

∴=．

∴PE•PG=PH•PF．（6分）

（2）解：由题意可得到图形，关系式为PC2=PE•PG，

∵AB∥CD，∴=，

∵AD∥BC，∴=，

∴=，即PC2=PE•PG．（12分）

解：∵▱ABCD中，E是AD上的一点，且AE=AB，∠BFC=35°，

∴∠ABE=∠AEB=35°，

∴∠A=110°，

∴∠C=110°，∠ABC=∠ADC=70°．