平行线分线段成比例定理
共439题

平行线分线段成比例定理
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题型：简答题

简答题

如图所示，四边形ABCD为矩形，点M是BC的中点，CN=CA,用向量法证明：

（1）D、N、M三点共线；（2）若四边形ABCD为正方形，则DN=BN．

正确答案

（1）设

∵

………3分

∴,且DM与DN有公共点D

∴D、N、M三点共线

（2）若四边形ABCD为正方形,则且

∵

∴

同理可得∴,即DN=BN

备注：利用坐标来运算的相应得分.

(1)用向量法证明可以选建立直角坐标系，用向量的坐标运算进行证明三点共线.

（2）线段长度相等就是证明其对应的向量的模相等即可，即证：.

题型：填空题

填空题

△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（4，4），直线l平行于BC，截△ABC得到一个小三角形，且截得小三角形面积是△ABC面积的，则直线l的方程为______．

正确答案

∵B（4，1），C（4，4），

∴直线BC的方程为：x=4

又∵直线l平行于BC，

∴可设直线l方程为x=k（1＜k＜4）

设直线l分别与AB、AC交于点M、N，

由△AMN∽△ABC，且△AMN面积是△ABC面积的，

得()2=⇒MN=BC=1

∵A（1，2），B（4，1）

∴直线AB的斜率为k1==-

可得直线AB方程为：y-2=-（x-1），即y=-x+

令x=k，得y=-k+，

∴M（k，-k+）

同理求得N（k，k+）

∴MN=k+-（-k+）=1⇒k=2

∴直线l的方程为x=2

故答案为：x=2

题型：填空题

填空题

圆内的两条弦AB,CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=PD.则CD=________。

正确答案

解：连接AC、BD．

∵∠A=∠D，∠C=∠B，

∴△ACP∽△DBP，

∴PA PD ="PC" PB ，

∴4 PD =PD 4 ，

∴PD2=64

∴PD=8

∴CD=PD+PC=8+2=10，

故答案为：10

题型：填空题

填空题

如图1，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 .

正确答案

试题分析：由于四边形为平行四边形，则，因此，

由于，所以，因此，故.

题型：简答题

简答题

如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为．

（1）求证：；

（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由．

正确答案

（1）同解析（2）垂直（3）,为等腰直角三角形．

证明：在四边形中，∵，

∴四边形为矩形，∴，

（1）易证，而，

∴；

（2）为直角三角形，，

∴，

即，

∴，

又，

∴，即，

∴；

（3）当时，为等腰直角三角形，

理由如下：

，，

∴

又因为

∴，

又

∴,为等腰直角三角形．

题型：简答题

简答题

(本小题满分12分) 设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为12，把它关于AC折起来，AB折过去以后，交CD于点P，求△ADP的面积的最大值及此时AB边的长．

正确答案

AB=时，△ADP的面积取最大值

解：设AB=，则AD=，由条件知……………2分

又设DP=，则PC=PA=，在Rt△ADP中有：

解出……………………6分

△ADP的面积………………10分

当且仅当，即时取得最大面积。

答：当AB=时，△ADP的面积取最大值…………………12分

题型：填空题

填空题

如图所示，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若△AEF的面积等于1 cm2，则△CDF的面积等于________cm2.

正确答案

试题分析：平行四边形ABCD中，有，

所以，的面积之比等于对应边长之比的平方，

因为，，所以，，

因为，的面积等于1cm2，

所以，的面积等于9cm2，故答案为9.

题型：填空题

填空题

已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，点M，N分别是对角线BD，AC的中点，则MN等于

正确答案

略

题型：简答题

简答题

(本小题满分16分)

如图，矩形的长，宽，，两点分别在，轴的正半轴上移动，，两点在第一象限.求的最大值.

正确答案

解：过点作，垂足为.

设，则. ……3分

. ……8分

. ……13分

由知，

所以，当时，取得最大值 ……16分

题型：填空题

填空题

如图7：A点是半圆上一个三等分点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，圆的半径为1，则PA+PB的最小值为。

正确答案

略

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