- 平行线分线段成比例定理
- 共439题
（选做题）
如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求
正确答案
解：过D点作DM∥AF交BC于M，
∵DM∥AF，
∴
∵EF∥DM，
∴
又
∴S四边形DEFC=14S△BEF，
∴
AB为圆O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=（ ）。
正确答案
选做题
如图，已知圆上的弧AC=弧BD，过C的圆的切线与
（1）证明：
（2）若
正确答案
解：（1）∵
又∵EC为圆的切线
∴∠ACE=∠ABC
∴∠ACE=∠BCD
(2)由圆内接四边形ABCD，
∴∠CDB=∠EAC∴∠EAC=∠BEC
由三角形BCE相似于三角形CDB
（选做题）
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC．
（Ⅰ）求证：∠P=∠EDF；
（Ⅱ）求证：CE·EB=EF·EP．
正确答案
证明：（1）∵DE2=EF·EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．
∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，
∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．
∴DE：PE=EF：EA．即EF·EP=DE·EA
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE·EA=CE·EB．
∴CE·EB=EF·EP．
（选做题）
如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧的中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE，
（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径。
（Ⅱ）求证：AG·EF=CE·GD。
正确答案
证明：（Ⅰ）连结DG，AB，
∵AD为⊙M的直径，
∴
在⊙O中，
∴AC为⊙O的直径。
（Ⅱ）∵
∴
∵点G为弧BD的中点，
∴
在⊙O中，
∴△AGD∽△ECF，
∴AG·EF=CE·GD。
如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，求证：
正确答案
证明：连接AD，
由同弧所对圆周角相等可得∠ADC=∠ABC，
AB为直径
CD⊥AB，OB=OC
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，
(Ⅰ)证明：△ABE∽△ADC；
(Ⅱ)若△ABC的面积S=
正确答案
(Ⅰ)证明：由已知条件，可得∠BAE=∠CAD，
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD，
故△ABE∽△ADC。
(Ⅱ)解：因为△ABE∽△ADC，
所以
又
故AB·AC·sin∠BAC=AD·AE，
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．
如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，求证：△POF~△POC。
正确答案
证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PDF=∠OCP，
在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，
故△PDF~△POC．
（几何证明选讲选作题）两个相似三角形的一组对应边的长分别是1cm和2cm，它们的面积的和为25cm2，则较大三角形的面积是______．
正确答案
设较大三角形的面积是xcm2，
根据题意得：x：（25-x）=4：1，
解得：x=20，
∴较大三角形的面积是20cm2．
故答案为：20cm2．
在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．
（1）求证：
（2）若AC=3，求AP•AD的值．
正确答案
（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，
∴△DPC～△DBA，∴
又∵AB=AC，∴
（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴
∴AC2=AP•AD=9（5分）
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