热门试卷

证明：设ABC的三边为a，b，c，第一个正方形，将AC（b）边分成两段，分别属于两个与ABC相似的三角形

设正方形边长为x，则有x=（b-x）•，解得x=，即边为a，b，c的直角三角形的内接正方形的边长

设第二个正方形边长为y，内接于直角三角形的边长为x，，，所以y=x

同样，设第三个正方形边长为z 则有z=y，

所以zx=y2，从而证明了x，y，z为等比数列，

所以其内接圆半径也是等比数列，即r1r3=r．

解：（Ⅰ）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，∵E是BD的中点，∴BE=DE，

又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，∴BF：FC=DG：FC，

又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，则BF：FC=1：2；即（5分）

（Ⅱ）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由（1）知BF：BC=1：3，

又由BE：BD=1：2可知h1：h2=1：2，其中h1、h2分别为△BEF和△BDC的高，

则，则S1：S2=1：5．（10分）

（1）证明：∵等腰梯形ABCD

∴∠ABC=∠DCB

又∵AB=CD，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB

（2）证明：∵△ABC≌△DCB

∴∠ACB=∠DBC，

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠EAD=∠ABC

∵ED∥AC，∴∠EDA=∠DAC，

∴∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，

∴△ADE∽△CBD

∴DE：BD=AE：CD

∴DE•DC=AE•BD

（I）解：∵AC为圆O的切线，∴∠B=∠EAC

又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB      …（3分）

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD即∠ADF=∠AFD 

又因为BE为圆O的直径，

∴∠DAE=90°

∴ …．（6分）

（II）证明：∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△ABC  …．…（8分）

∴，

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°，…（10分）

∴在Rt△ABE中，…．（12分）

证明：（1）连结OA，OB．

∵AE∥PD，∴∠PFB=∠E，

又∵P为切线PA，PB的交点，∴∠POB=∠AOB=∠E=∠PFB，

∴P，F，O，B四点共圆；

（2）连结OF．

∵P，F，O，B四点共圆，∴∠OFP+∠OBP=180°，

又∵PB为圆O切线，∴∠OBP=90°，

∴∠OFP=90°，即OF⊥CD，∴CF=FD．

解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，

∴△DPC～△DBA，∴

又∵AB=AC，∴（5分）

（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，

∴AC2=AP•AD=9（5分）