- 平行线分线段成比例定理
- 共439题
如图△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边上的中点,BE⊥AD,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
正确答案
证明:过C点,做CG∥AB,交BF延长线于点G,则△CGB≌△BDA,
得到CG=BD=DC=AB,∠G=∠ADB
∵∠BCA=∠ACG=45°,CF=CF,∴△CFD≌△CFG
∴∠G=∠CDF
故∠ADB=∠FDC=∠G
解析
证明:过C点,做CG∥AB,交BF延长线于点G,则△CGB≌△BDA,
得到CG=BD=DC=AB,∠G=∠ADB
∵∠BCA=∠ACG=45°,CF=CF,∴△CFD≌△CFG
∴∠G=∠CDF
故∠ADB=∠FDC=∠G
如图,△ABC,AB=12,AC=15,D为AB上一点,且AD=
AB,在AC上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似,则AE等于( )
正确答案
解析
解:如图
①当∠AED=∠C时,即DE∥AC
则AE=AC=10
②当∠AED=∠B时,△AED∽△ABC
∴,即
AE=
综合①②,AE=或10
故选A.
如图,在△ABC中,∠C=90°,sinB=
,F是AB上一点,过点F作DF⊥AB于F,交BC城E,交AC延长线于D,连CF,若S△BEF=4S△CDE,CE=5,
(1)求AC的长 (2)求S△CEF.
正确答案
解:(1)∵∠BFE=∠BCD=90°,∠FEB=∠DEC
∴△BFE∽△DCF
∵S△BEF=4S△CDE,
∴S△BEF:S△DEC=4:1
∴EF:EC=2:1
∵CE=5,∴EF=10,
∵sinB=,∴BE=
,∴BC=
设AC=5k,则AB=7k
∵AB2-AC2=BC2,
∴49k2-25k2=( )2
解得k=(负值舍去)
∴AC=5×=
;
(2)∵sinB=,BE=
,EF=10;
∴BF=4
S△BFE=BF×EF÷2=20
∵BE:EC=:5
∴S△CEF=.
解析
解:(1)∵∠BFE=∠BCD=90°,∠FEB=∠DEC
∴△BFE∽△DCF
∵S△BEF=4S△CDE,
∴S△BEF:S△DEC=4:1
∴EF:EC=2:1
∵CE=5,∴EF=10,
∵sinB=,∴BE=
,∴BC=
设AC=5k,则AB=7k
∵AB2-AC2=BC2,
∴49k2-25k2=( )2
解得k=(负值舍去)
∴AC=5×=
;
(2)∵sinB=,BE=
,EF=10;
∴BF=4
S△BFE=BF×EF÷2=20
∵BE:EC=:5
∴S△CEF=.
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF,解答下列问题:
(1)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,线段CF与线段BD之间的位置关系是______,数量关系是______.
(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,(1)中的结论是否仍然成立,为什么?
正确答案
解:(1)由已知可得:,∴△ACF≌△ABD,
∴∠ACF=∠ABD,CF=BD.
∴CF⊥BC,即CF⊥BD.
(2)仍然成立.
证明如下:,∴△ACF≌△ABD,
∴∠ACF=∠ABD,CF=BD.
∴CF⊥BC,即CF⊥BD.
解析
解:(1)由已知可得:,∴△ACF≌△ABD,
∴∠ACF=∠ABD,CF=BD.
∴CF⊥BC,即CF⊥BD.
(2)仍然成立.
证明如下:,∴△ACF≌△ABD,
∴∠ACF=∠ABD,CF=BD.
∴CF⊥BC,即CF⊥BD.
如图,△OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点,且PO=3,PA•PB=4,则腰长OA=______.
正确答案
解析
解:作OD⊥AP,垂足D,则OP2-PD2=OB2-BD2,所以OP2-OB2=PD2-BD2,
因为AD=BD,所以PD2-BD2=PD2-AD2=(PD+AD)(PD-AD)=PB•PA=4,
所以OP2-OB2=4,
所以OB2=9-4=5,
所以OB=,
所以OA=.
故答案为:.
已知在△ABC中,D为BC边上的点,且AD=BD,∠BDE=∠DAC,求证:=
.
正确答案
证明:∵AD=BD,
∴∠EAD=∠B=α;
设∠BDE=∠DAC=β,
∴∠AED=α+β,而∠BAC=α+β,
∴∠AED=∠BAC,而∠EAD=∠B,
∴△AED∽△BAC,
∴=
,而AD=BD,
∴=
∴=
.
解析
证明:∵AD=BD,
∴∠EAD=∠B=α;
设∠BDE=∠DAC=β,
∴∠AED=α+β,而∠BAC=α+β,
∴∠AED=∠BAC,而∠EAD=∠B,
∴△AED∽△BAC,
∴=
,而AD=BD,
∴=
∴=
.
(几何证明选讲选做题)如图所示的RT△ABC中有边长分别为a,b,c的三个正方形,若a×c=4,则b=______.
正确答案
2
解析
解:根据条件可以得到△EFG∽△GHD,
得到:EF:HG=FG:HD
而EF=a-b,FG=b,HG=b-c,HD=c,
则(a-b):(b-c)=b:c,
则得到:b2=ac.
a,b,c之间的关系是b2=ac=4.
所以b=2.
故答案为:2.
已知AD是△ABC的内角平分线,求证:=
.
正确答案
证明:过C作CE∥AD交BA的延长线于E,如图所示,
则∠AEC=∠BAD,∠DAC=∠ACE.
又∠BAD=∠DAC,∴∠AEC=∠ACE,∴AC=AE,
又由AD∥CE知=
,
∴=
.
解析
证明:过C作CE∥AD交BA的延长线于E,如图所示,
则∠AEC=∠BAD,∠DAC=∠ACE.
又∠BAD=∠DAC,∴∠AEC=∠ACE,∴AC=AE,
又由AD∥CE知=
,
∴=
.
如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点.
求证:(Ⅰ)∠PBD=30°;
(Ⅱ)AD=DC.
正确答案
证明:(Ⅰ)由已知得∠ADC=90°,从而A,B,C,D四点共圆,AC为直径,P为该圆的圆心.
作PM⊥BD于点M,知M为BD的中点,
所以∠BPM==∠A=60°,
从而∠PBM=30°. …(5分)
(Ⅱ)作SN⊥BP于点N,则.
又,
∴,
∴Rt△PMS≌Rt△PNS,
∴∠MPS=∠NPS=30°,
又PA=PB,所以,
故∠DAC=45°=∠DCA,所以AD=DC.…(10分)
解析
证明:(Ⅰ)由已知得∠ADC=90°,从而A,B,C,D四点共圆,AC为直径,P为该圆的圆心.
作PM⊥BD于点M,知M为BD的中点,
所以∠BPM==∠A=60°,
从而∠PBM=30°. …(5分)
(Ⅱ)作SN⊥BP于点N,则.
又,
∴,
∴Rt△PMS≌Rt△PNS,
∴∠MPS=∠NPS=30°,
又PA=PB,所以,
故∠DAC=45°=∠DCA,所以AD=DC.…(10分)
图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图(箭头表示行进的方向).图②中E为AB的中点,图③中AJ>JB.判断三人行进路线长度的大小关系为( )
正确答案
解析
解:根据以上分析:所以图②可得AE=BE,AD=EF,DE=BE,
∵AE=BE=AB∴AD=EF=
AC,DE=BE=
BC.
∴甲=乙
图③与图①中,三个三角形相似,所以,
=
,
∵AJ+BJ=AB,
∴AI+JK=AC,IJ+BK=BC
∴甲=丙.∴甲=乙=丙.
故选A.
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