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题型:简答题
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简答题

如图△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边上的中点,BE⊥AD,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.

正确答案

证明:过C点,做CG∥AB,交BF延长线于点G,则△CGB≌△BDA,

得到CG=BD=DC=AB,∠G=∠ADB

∵∠BCA=∠ACG=45°,CF=CF,∴△CFD≌△CFG

∴∠G=∠CDF

故∠ADB=∠FDC=∠G

解析

证明:过C点,做CG∥AB,交BF延长线于点G,则△CGB≌△BDA,

得到CG=BD=DC=AB,∠G=∠ADB

∵∠BCA=∠ACG=45°,CF=CF,∴△CFD≌△CFG

∴∠G=∠CDF

故∠ADB=∠FDC=∠G

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题型: 单选题
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单选题

如图,△ABC,AB=12,AC=15,D为AB上一点,且AD=AB,在AC上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似,则AE等于(  )

A或10

B

C10

D以上答案都不对

正确答案

A

解析

解:如图

①当∠AED=∠C时,即DE∥AC

则AE=AC=10

②当∠AED=∠B时,△AED∽△ABC

,即

AE=

综合①②,AE=或10

故选A.

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题型:简答题
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简答题

如图,在△ABC中,∠C=90°,sinB=,F是AB上一点,过点F作DF⊥AB于F,交BC城E,交AC延长线于D,连CF,若S△BEF=4S△CDE,CE=5,

(1)求AC的长  (2)求S△CEF

正确答案

解:(1)∵∠BFE=∠BCD=90°,∠FEB=∠DEC

∴△BFE∽△DCF

∵S△BEF=4S△CDE

∴S△BEF:S△DEC=4:1

∴EF:EC=2:1

∵CE=5,∴EF=10,

∵sinB=,∴BE=,∴BC=

设AC=5k,则AB=7k

∵AB2-AC2=BC2

∴49k2-25k2=( 2

解得k=(负值舍去)

∴AC=5×=

(2)∵sinB=,BE=,EF=10;

∴BF=4

S△BFE=BF×EF÷2=20

∵BE:EC=:5

∴S△CEF=

解析

解:(1)∵∠BFE=∠BCD=90°,∠FEB=∠DEC

∴△BFE∽△DCF

∵S△BEF=4S△CDE

∴S△BEF:S△DEC=4:1

∴EF:EC=2:1

∵CE=5,∴EF=10,

∵sinB=,∴BE=,∴BC=

设AC=5k,则AB=7k

∵AB2-AC2=BC2

∴49k2-25k2=( 2

解得k=(负值舍去)

∴AC=5×=

(2)∵sinB=,BE=,EF=10;

∴BF=4

S△BFE=BF×EF÷2=20

∵BE:EC=:5

∴S△CEF=

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题型:简答题
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简答题

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF,解答下列问题:

(1)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,线段CF与线段BD之间的位置关系是______,数量关系是______

(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,(1)中的结论是否仍然成立,为什么?

正确答案

解:(1)由已知可得:,∴△ACF≌△ABD,

∴∠ACF=∠ABD,CF=BD.

∴CF⊥BC,即CF⊥BD.

(2)仍然成立.

证明如下:,∴△ACF≌△ABD,

∴∠ACF=∠ABD,CF=BD.

∴CF⊥BC,即CF⊥BD.

解析

解:(1)由已知可得:,∴△ACF≌△ABD,

∴∠ACF=∠ABD,CF=BD.

∴CF⊥BC,即CF⊥BD.

(2)仍然成立.

证明如下:,∴△ACF≌△ABD,

∴∠ACF=∠ABD,CF=BD.

∴CF⊥BC,即CF⊥BD.

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题型:填空题
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填空题

如图,△OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点,且PO=3,PA•PB=4,则腰长OA=______

正确答案

解析

解:作OD⊥AP,垂足D,则OP2-PD2=OB2-BD2,所以OP2-OB2=PD2-BD2

因为AD=BD,所以PD2-BD2=PD2-AD2=(PD+AD)(PD-AD)=PB•PA=4,

所以OP2-OB2=4,

所以OB2=9-4=5,

所以OB=

所以OA=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

已知在△ABC中,D为BC边上的点,且AD=BD,∠BDE=∠DAC,求证:=

正确答案

证明:∵AD=BD,

∴∠EAD=∠B=α;

设∠BDE=∠DAC=β,

∴∠AED=α+β,而∠BAC=α+β,

∴∠AED=∠BAC,而∠EAD=∠B,

∴△AED∽△BAC,

=,而AD=BD,

=

=

解析

证明:∵AD=BD,

∴∠EAD=∠B=α;

设∠BDE=∠DAC=β,

∴∠AED=α+β,而∠BAC=α+β,

∴∠AED=∠BAC,而∠EAD=∠B,

∴△AED∽△BAC,

=,而AD=BD,

=

=

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题型:填空题
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填空题

(几何证明选讲选做题)如图所示的RT△ABC中有边长分别为a,b,c的三个正方形,若a×c=4,则b=______

正确答案

2

解析

解:根据条件可以得到△EFG∽△GHD,

得到:EF:HG=FG:HD

而EF=a-b,FG=b,HG=b-c,HD=c,

则(a-b):(b-c)=b:c,

则得到:b2=ac.

a,b,c之间的关系是b2=ac=4.

所以b=2.

故答案为:2.

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题型:简答题
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简答题

已知AD是△ABC的内角平分线,求证:=

正确答案

证明:过C作CE∥AD交BA的延长线于E,如图所示,

则∠AEC=∠BAD,∠DAC=∠ACE.

又∠BAD=∠DAC,∴∠AEC=∠ACE,∴AC=AE,

又由AD∥CE知=

=

解析

证明:过C作CE∥AD交BA的延长线于E,如图所示,

则∠AEC=∠BAD,∠DAC=∠ACE.

又∠BAD=∠DAC,∴∠AEC=∠ACE,∴AC=AE,

又由AD∥CE知=

=

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题型:简答题
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简答题

如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点.

求证:(Ⅰ)∠PBD=30°;

(Ⅱ)AD=DC.

正确答案

证明:(Ⅰ)由已知得∠ADC=90°,从而A,B,C,D四点共圆,AC为直径,P为该圆的圆心.

作PM⊥BD于点M,知M为BD的中点,

所以∠BPM==∠A=60°,

从而∠PBM=30°. …(5分)

(Ⅱ)作SN⊥BP于点N,则

∴Rt△PMS≌Rt△PNS,

∴∠MPS=∠NPS=30°,

又PA=PB,所以

故∠DAC=45°=∠DCA,所以AD=DC.…(10分)

解析

证明:(Ⅰ)由已知得∠ADC=90°,从而A,B,C,D四点共圆,AC为直径,P为该圆的圆心.

作PM⊥BD于点M,知M为BD的中点,

所以∠BPM==∠A=60°,

从而∠PBM=30°. …(5分)

(Ⅱ)作SN⊥BP于点N,则

∴Rt△PMS≌Rt△PNS,

∴∠MPS=∠NPS=30°,

又PA=PB,所以

故∠DAC=45°=∠DCA,所以AD=DC.…(10分)

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题型: 单选题
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单选题

图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图(箭头表示行进的方向).图②中E为AB的中点,图③中AJ>JB.判断三人行进路线长度的大小关系为(  )

A甲=乙=丙

B甲<乙<丙

C乙<丙<甲

D丙<乙<甲

正确答案

A

解析

解:根据以上分析:所以图②可得AE=BE,AD=EF,DE=BE,

∵AE=BE=AB∴AD=EF=AC,DE=BE=BC.

∴甲=乙

图③与图①中,三个三角形相似,所以=

∵AJ+BJ=AB,

∴AI+JK=AC,IJ+BK=BC

∴甲=丙.∴甲=乙=丙.

故选A.

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