热门试卷

（1）

如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD。以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CD＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD＝，故A（0，－3,0），B（，0,0），C（0,1,0），D（，0,0）。

因PA⊥底面ABCD，可设P（0，－3，z），由F为PC边中点，F.

又＝，＝（，3，－z），

因AF⊥PB，故·＝0，

即6－＝0，（舍去），

所以||＝.

（2）由（1）知＝（，3,0），＝（，3,0），＝（0,2，），设平面FAD的法向量为n1＝（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为n2＝（x2，y2，z2），

由n1·＝0，n1·＝0，得

因此可取n1＝（3，，－2）。

由n2·＝0，n2·＝0，

得故可取n2＝（3，，2）。

从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为

cos〈n1，n2〉＝，

故二面角B－AF－D的正弦值为

（1）设的中点为，连接，则，且，所以或其补角即为异面直线与所成的角。

连接ME，在中，

所以异面直线与所成的角为。

（2），，

以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则：

，

设平面的一个法向量为

则

所以平面的一个法向量为. …10分

又，

所以点到平面的距离.

（1）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1。

故CD⊥平面A1ABB1。

所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==

（2）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1。

又由（1）知CD⊥平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角，因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A，因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2，所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===

解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz。

设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）

由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）

设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥

∴ •=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）

设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x2=1，得=（1，0，0），

所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值

解：

（1）过A1作A1F⊥DE，由已知可得A1F⊥平面BCD，且F为DE中点，以D为原点，DC、DA所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，

求得平面CEA1的一个法向量为，，，得

所以，直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为。

（2）取A1D中点G，连结MG，EG，由MG∥EB，且MG＝EB，可得BMGE为平行四边形，所以，BM＝EG，而三角形ADE中，EG的长度为定值，所以，BM的长度为定值。