裂项相消法求和
共32题

· 裂项相消法求和

裂项相消法求和
共32题

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题型：简答题

简答题 · 16 分

19．对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意的（）都有成立,那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,以下简称周期。例如当时是周期为的周期数列,当时是周期为的周期数列。

（Ⅰ）设数列满足（）,（不同时为0）,求证:数列是周期为的周期数列，并求数列的前2013项的和；

（Ⅱ）设数列的前项和为，且。

①若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由；

②若,试判断数列是否为周期数列,并说明理由；

（Ⅲ）设数列满足（）,,,数列的前项和为,试问是否存在,使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在,说明理由。

正确答案

解析

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知识点

裂项相消法求和

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．已知数列的前项和为,且，则=_____________.

正确答案

解析

，所以得到，

，两边化简，然后同除以得到

，，所以得到数列是一个首项为1，公差为2的等差数列，所以，

考查方向

本题主要考查数列的基本性质，对数列进行变形构造新的数列求数列的通项公式。难度中档，是高考热点之一。数列在高考中常常会涉及运用递推式求通项公式、周期数列以及数列与不等式的问题。

解题思路

详见解析

易错点

不能够想到，化简后不能想到两边同除以而构造新的数列。

知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 13 分

18. 已知数列的前项和为，点在直线上，数列的前n项和为，且，．

（Ⅰ）求数列,的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：；

正确答案

（1），；；（2）见解析．

解析

试题分析：本题属于数列中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

解：（Ⅰ）由题意，得 ①

当时，

当时，②

综上，

又

两式相减，得

数列为等比数列，．

（Ⅱ）

是递增数列，

考查方向

本题考查了数列的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查数列问题，解题步骤如下：

1、利用an与Sn的关系求解。

2、利用等比数列的求和公式求解。

易错点

等比数列分项时项数易错。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明裂项相消法求和数列与不等式的综合数列与解析几何的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

6．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）

正确答案

解析

由“均倒数”为得Sn=5n2，则an=10n-5,=2n-1,

则。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查数列的综合运算

解题思路

（1）求出an；（2）求出bn，利用裂项相消法求和，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在求an时发生错误。

知识点

裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明裂项相消法求和数列与函数的综合

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