- 分组转化法求和
- 共2489题
已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=an+log
正确答案
解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
解得
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n，
∴bn=an+log
∴Sn=
解析
解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
解得
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n，
∴bn=an+log
∴Sn=
在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，Sn表示其前n项和．若
正确答案
11
解析
解：若q=1，则
与题设矛盾，此情况不存在；
若q≠1，则
故有1+q3=9，解得q=2．
所以an=a•2n-1，可知log2an=n-1+log2a．
所以数列{log2an}是以log2a为首项，1为公差的等差数列．
令log2an≤0，即n-1+log2a≤0⇔n≤1-log2a．
因为
所以log2a∈[-log22010，-log21949]，
即得1-log2a∈[1+log21949，1+log22010]，
可知满足log2an≤0的最大的n值为11．
所以，数列{log2an}的前11项均为负值，
从第12项开始都是正数．因此，当n=11时，Tn有最小值．
故答案为：11．
有限数列A=（a1，a2，…，an），Sn为其前n项和，定义
正确答案
解析
解：∵
其中S1=a1，S2=a1+a2，…S2007=a1+a2+a3+…a2007．
∴所求的优化和=[1+（1+a1）+（1+a1+a2）+…+（1+a1+…+a2006）+（1+a1+…+a2007）]÷2008
=[1+（ 1+S1）+（1+S2）+…+（1+S2006）+（1+S2007）]÷2008
=[2008×1+（S1+S2+…+S2007）]÷2008
=[2008+2007×2008]÷2008
=1+2007
=2008
故选B．
数列{an}的通项为an=（-1）n•n•sin
正确答案
解析
解：当n=2k时（k∈N*），a2k=（2k）•sinkπ+1=1．
当n=4k-3时（k∈N*），a4k-3=-（4k-3）+1=-n+1．
当n=4k-1时（k∈N*），a4k-1=（4k-1）+1=n+1．
∴S100=（a2+a4+…+a100）+（a1+a5+…+a97）+（a3+a7+…+a99）
=50+（-1-5-…-97+25）+（3+7+…+99+25）
=150．
故选：D．
已知数列{an}是递增数列，且满足a3•a5=16，a2+a6=10．
（1）若{an}是等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）对于（1）中{an}，令
正确答案
解：（1）根据题意：a2+a6=10=a3+a5，又a3•a5=16，
所以a3，a5是方程x2-10x+16=0的两根，且a3＜a5，
解得a5=8，a3=2，所以d=3，
∴an=3n-7．…（4分）
（2）
Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，①
2Tn=1×22+2×23+…+（n-2）•2n-1+（n-1）•2n+n•2n+1，②
①-②得
所以Tn=n•2n+1-2n+1+2=（n-1）•2n+1+2．…（12分）
解析
解：（1）根据题意：a2+a6=10=a3+a5，又a3•a5=16，
所以a3，a5是方程x2-10x+16=0的两根，且a3＜a5，
解得a5=8，a3=2，所以d=3，
∴an=3n-7．…（4分）
（2）
Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，①
2Tn=1×22+2×23+…+（n-2）•2n-1+（n-1）•2n+n•2n+1，②
①-②得
所以Tn=n•2n+1-2n+1+2=（n-1）•2n+1+2．…（12分）
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