- 分组转化法求和
- 共2489题
对于一个有限数列p=（p1，p2，…，pn），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
正确答案
解析
解：由“蔡查罗和”定义，
{P1，P2，P99}的“蔡查罗和”为：
∴S1+S2+…+S99=99000，
则100项的数列{9，P1，P2，P99}“蔡查罗和”为：
故选：D．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn-2bn+3=0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=
正确答案
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
∴an=4n，
∵Tn-2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，Tn-1-2bn-1+3=0，
两式相减，得bn=2bn-1，（n≥2）
则数列{bn}为等比数列，
∴
（Ⅱ）
当n为偶数时，Pn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）
=
当n为奇数时，
（法一）n-1为偶数，Pn=Pn-1+cn=2（n-1）+1+（n-1）2-2+4n=2n+n2+2n-1，
（法二）Pn=（a1+a3+…+an-2+an）+（b2+b4+…+bn-1）
=
∴
解析
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
∴an=4n，
∵Tn-2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，Tn-1-2bn-1+3=0，
两式相减，得bn=2bn-1，（n≥2）
则数列{bn}为等比数列，
∴
（Ⅱ）
当n为偶数时，Pn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）
=
当n为奇数时，
（法一）n-1为偶数，Pn=Pn-1+cn=2（n-1）+1+（n-1）2-2+4n=2n+n2+2n-1，
（法二）Pn=（a1+a3+…+an-2+an）+（b2+b4+…+bn-1）
=
∴
求和：（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+（an-n）．
正确答案
解：S=（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+（an-n）
=（a+a2+a3+…+an）-（1+2+3+…+n）
当a=0时，S=-（1+2+3+…+n）=-
当a=1时，S=
当a≠1，且a≠0时，
a+a2+a3+…+an=
∴S=
解析
解：S=（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+（an-n）
=（a+a2+a3+…+an）-（1+2+3+…+n）
当a=0时，S=-（1+2+3+…+n）=-
当a=1时，S=
当a≠1，且a≠0时，
a+a2+a3+…+an=
∴S=
数列{（-1）n•n}的前2012项的和S2012为______．
正确答案
1006
解析
解：S2012=-1+2-3+4-…-2011+2012
=（-1+2）+（-3+4）+…+（-2011+2012）
=1006．
故答案为：1006．
数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）．记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．
正确答案
解：法一：
（I）a1=1，故
故
故
故
（II）因
故猜想
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故
因
故
因
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法二：
（Ⅰ）由
整理得
由a1=1，有b1=2，所以
（Ⅱ）由
所以
故
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
公比q=2的等比数列，
又因an≠2，故
因此
因
从而bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=
=
=
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
解析
解：法一：
（I）a1=1，故
故
故
故
（II）因
故猜想
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故
因
故
因
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法二：
（Ⅰ）由
整理得
由a1=1，有b1=2，所以
（Ⅱ）由
所以
故
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
公比q=2的等比数列，
又因an≠2，故
因此
因
从而bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=
=
=
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
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