分组转化法求和_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）∵数列{an}是等差数列，且a6+a8=-10

∴a7=-5，又a2=0，

∴d==-1，

∴an=a2+（n-2）d=2-n．

（Ⅱ）令bn=，则bn==，

∴Sn=b1+b2+…+bn

=1+0---…-，①

∴Sn=+0--…--，②

①-②得：

Sn=1----…-+

=-+2+

=-2++2+=，

∴Sn=．

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题型：填空题

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填空题

在数列{an}中，a1=2，an+1-2an=0（n∈N*），bn是an和an+1的等差中项，设Sn为数列{bn}的前n项和，则S6=______．

正确答案

189

解析

解：∵an+1-2an=0

∴=2

∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列

∴an=2×2n-1=2n

∵bn是an和an+1的等差中项，

∴bn===3×2n-1

∴s6=b1+b2+…+b6=3（1+21+22+…+25）=3×=189

答案为：189

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题型：单选题

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单选题

已知数列{an}的通项公式为，则其前8项和S8等于（　　）

A.

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵an==-，

∴S8=a1+a2+…+a8

=1-+-+…+-

=1-

=，

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知等比数列{an}的公比为q，首项为a1，其前n项的和为Sn．数列{an2}的前n项的和为An，数列{（-1）n+1an}的前n项的和为Bn．

（1）若A2=5，B2=-1，求{an}的通项公式；

（2）①当n为奇数时，比较BnSn与An的大小；

②当n为偶数时，若|q|≠1，问是否存在常数λ（与n无关），使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵A2=5，B2=-1，

∴

∴或（2分）

∴，或an=2n-1．（4分）

（2）∵=常数，

=常数，

∴数列{an2}，{（-1）n+1an}均为等比数列，

首项分别为a12，a1，公比分别为q2，-q．（6分）

①当n为奇数时，当q=1时，Sn=na1，An=na12，Bn=a1，

∴BnSn=na12=An．当q=-1时，Sn=a1，An=na12，Bn=na1，

∴BnSn=na12=An．（8分）

当q≠±1时，设n=2k-1（k∈N*），，，，

∴B2k-1S2k-1=A2k-1．综上所述，当n为奇数时，BnSn=An．（10分）

②当n为偶数时，存在常数，

使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．（11分）

∵|q|≠1，∴，，．

∴（Bn-λ）Sn+An=

=

=．（14分）

由题设，对所有的偶数n恒成立，

又，∴．（16分）

∴存在常数，使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．

解析

解：（1）∵A2=5，B2=-1，

∴

∴或（2分）

∴，或an=2n-1．（4分）

（2）∵=常数，

=常数，

∴数列{an2}，{（-1）n+1an}均为等比数列，

首项分别为a12，a1，公比分别为q2，-q．（6分）

①当n为奇数时，当q=1时，Sn=na1，An=na12，Bn=a1，

∴BnSn=na12=An．当q=-1时，Sn=a1，An=na12，Bn=na1，

∴BnSn=na12=An．（8分）

当q≠±1时，设n=2k-1（k∈N*），，，，

∴B2k-1S2k-1=A2k-1．综上所述，当n为奇数时，BnSn=An．（10分）

②当n为偶数时，存在常数，

使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．（11分）

∵|q|≠1，∴，，．

∴（Bn-λ）Sn+An=

=

=．（14分）

由题设，对所有的偶数n恒成立，

又，∴．（16分）

∴存在常数，使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．

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题型：简答题

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简答题

已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，

（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m-1）a1；

（2）若b3=ai（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；

（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：设{an}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1（q-1）（a1≠0）

（1）因为bk=am，所以a1qk-1=a1+（m-1）a1（q-1），qk-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，

所以

（2）b3=a1q2，ai=a1+（i-1）a1（q-1），由b3=ai，

所以q2=1+（i-1）（q-1），q2-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+），设数列{an}中的某一项am（m∈N+）=a1+（m-1）a1（q-1）

现在只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1qn-1=a1+（m-1）a1（q-1）中m有正整数解即可，m-1==1+q+q2+…+qn-2，所以m=2+q+q2+qn-2，若i=1，则q=-1，那么b2n-1=b1=a1，b2n=b2=a2，当i≥3时，因为a1=b1，a2=b2，只要考虑n≥3的情况，因为b3=ai，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+）与数列{an}的第2+q+q2+qn-2项相等，从而结论成立．

（3）设数列{bn}中有三项bm，bn，bp（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，则有

2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N+），所以2=，令x=1，y=2，则q3-2q+1=0，（q-1）（q2+q-1）=0，因为q≠1，所以q2+q-1=0，所以，即存在使得{bn}中有三项bm，bm+1，bm+3（m∈N+）成等差数列．

解析

解：设{an}的公差为d，由a1=b1，a2=b2≠a1，知d≠0，q≠1，d=a1（q-1）（a1≠0）

（1）因为bk=am，所以a1qk-1=a1+（m-1）a1（q-1），qk-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，

所以

（2）b3=a1q2，ai=a1+（i-1）a1（q-1），由b3=ai，

所以q2=1+（i-1）（q-1），q2-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+），设数列{an}中的某一项am（m∈N+）=a1+（m-1）a1（q-1）

现在只要证明存在正整数m，使得bn=am，即在方程a1qn-1=a1+（m-1）a1（q-1）中m有正整数解即可，m-1==1+q+q2+…+qn-2，所以m=2+q+q2+qn-2，若i=1，则q=-1，那么b2n-1=b1=a1，b2n=b2=a2，当i≥3时，因为a1=b1，a2=b2，只要考虑n≥3的情况，因为b3=ai，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1（n∈N+）与数列{an}的第2+q+q2+qn-2项相等，从而结论成立．

（3）设数列{bn}中有三项bm，bn，bp（m＜n＜p，m，n，p∈N+）成等差数列，则有

2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N+），所以2=，令x=1，y=2，则q3-2q+1=0，（q-1）（q2+q-1）=0，因为q≠1，所以q2+q-1=0，所以，即存在使得{bn}中有三项bm，bm+1，bm+3（m∈N+）成等差数列．

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