- 分组转化法求和
- 共2489题
已知数列{an}满足 a1=2，a2=8，an+2=4an+1-4an．
（1）证明{an+1-2an}是等比数列；
（2）证明
（3）设S=a1+a2+a3+…+a2010，求S的值．
正确答案
解：（1）∵an+2=4an+1-4an∴an+2-2an+1=2（an+1-2an），
即
∴数列{an+1-2an}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，an+1-2an=4•2n-1=2n+1，∴
∴数列
（3）∵
∴S=2+2•22+3•23+…+2010•22010①2S=22+2•23+3•24+…+2010•22011②
①-②得-S=2+22+23+…+22010-2010•22011=22011-2-2010•22011
∴S=2009•21011+2．
解析
解：（1）∵an+2=4an+1-4an∴an+2-2an+1=2（an+1-2an），
即
∴数列{an+1-2an}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，an+1-2an=4•2n-1=2n+1，∴
∴数列
（3）∵
∴S=2+2•22+3•23+…+2010•22010①2S=22+2•23+3•24+…+2010•22011②
①-②得-S=2+22+23+…+22010-2010•22011=22011-2-2010•22011
∴S=2009•21011+2．
已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．令
正确答案
100
解析
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a3a6=55，a2+a7=16，得：
即
把③代入①得：d2=4，所以d=-2或d=2．
因为{an}的公差大于0，所以，d=2，
则
所以，an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
则an+1=2（n+1）-1=2n+1．
所以，
则Tn=b1+b2+b3+…+bn
=
=
由Tn＜
得
即
所以，m≥100．
则实数m的最小值为100．
故答案为100．
已知数列{an}，an=
正确答案
解析
解：∵an=
∴S50=
=
=
=
故答案为：
单调递增数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=
（1）求a1，并求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=
正确答案
解：（1）∵Sn=
∴当n=1时，a1=
解得a1=1；
当n≥2时，Sn-1=
∴an=
∴
∴an-1=an-1或an-1=1-an，n≥2．
∵数列{an}为单调递增数列，且a1=1，
∴an-an-1=1，
∴数列{an}为首项是1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，cn=
∴T20=（c1+c3+…+c19）+（c2+c4+…+c20）
=
=
=221+8
解析
解：（1）∵Sn=
∴当n=1时，a1=
解得a1=1；
当n≥2时，Sn-1=
∴an=
∴
∴an-1=an-1或an-1=1-an，n≥2．
∵数列{an}为单调递增数列，且a1=1，
∴an-an-1=1，
∴数列{an}为首项是1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
（2）∵an=n，cn=
∴T20=（c1+c3+…+c19）+（c2+c4+…+c20）
=
=
=221+8
已知数列{an}的前n项和Sn=12-22+32-42+…+（-1）n+1n2，则S10=______，S27=______，Sn=______．
正确答案
-55
378
解析
解：S10=12-22+32-42+…+92-102
=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（9-10）（9+10）
=-（1+2+3+…+10）
=-
=-55．
S27=12-22+32-42+…+252-262+272
=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（25-26）（25+26）+272
=-（1+2+3+…+26）+272
=
=378．
当n为偶数2k（k∈Z）时，
S2k═12-22+32-42+…+（2k-1）2-（2k）2
=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（2k-1-2k）（2k-1+2k）
=-（1+2+…+2k-1+2k）
=-
=
当n为奇数2k-1（k∈Z）时，
S2k-1=S2k-（-1）2k+1（2k）2
=
=
综上可得：Sn=
故答案分别为：-55；378；
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