热门试卷

证明：∵a＞0且a≠1，m，n∈N+，

∴a＞1，am-1＞0，an-1＞0，0＜a＜1，am-1＜0，an-1＜0，

∴am+n+1-am-an=（am-1）（an-1）＞0，

∴am+n+1＞am+an（m，n∈N+）．

证明：令，

则f‘（x）=ex-1-x，

再令g（x）=f'（x），则g'（x）=ex-1，

∵x＞0，∴ex-1＞0，即g'（x）＞0，

∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，

由于x＞0，则g（x）＞g（0）=e0-1=0，即f'（x）＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，

由x＞0知，，

即ex-（1+x+x2）＞0，

∴ex＞1+x+x2，得证．

证明：（ac+bd）（ad+bc）=（a2+b2）cd+ab（c2+d2）≥（a2+b2）cd+2abcd=（a+b）2cd，

因为a，b，c，d满足a+b=cd=1，

所以（a+b）2cd=1，

所以：（ac+bd）（ad+bc）≥1．

证明：设=（，），=（，），夹角为θ（0≤θ≤π），

∴•==（+）cosθ≤+，

∵（1-x2）（1-y2）=1+x2y2-（x2+y2）≤1-xy，

∴+≥．

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．

①当n=1时，因为a2是方程x2+x-1=0的正根，所以a1＜a2．

②假设当n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1，

因为ak+12-ak2=（ak+22+ak+2-1）-（ak+12+ak+1-1）=（ak+2-ak+1）（ak+2+ak+1+1），

所以ak+1＜ak+2．

即当n=k+1时，an＜an+1也成立．

根据①和②，可知an＜an+1对任何n∈N*都成立．

（Ⅱ）证明：由ak+12+ak+1-1=ak2，k=1，2，…，n-1（n≥2），

得an2+（a2+a3+…+an）-（n-1）=a12．

因为a1=0，所以Sn=n-1-an2．

由an＜an+1及an+1=1+an2-2an+12＜1得an＜1，

所以Sn＞n-2．

（Ⅲ）证明：由，得：

，

所以，

故当n≥3时，，

又因为T1＜T2＜T3，

所以Tn＜3．

解：（1）∵直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0垂直，

∴2b+a[-（b-3）]=0，即ab-3a-2b=0，

∴（a-2）（b-3）=6，

∵a、b为正数，∴a＞2，b＞3，

∴2a+3b=2（a-2）+3（b-3）+13

，

当且仅当：2（a-2）=3（b-3），即时，取“=”，

故2a+3b的最小值是25；

（2）∵a、b、c为正数，

∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）

=（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）

≥2•2•2•2

=16abc，

即（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc，

当且仅当：a=b=c=d=1时，取“=”．