热门试卷

证明：令=（x，y，z），=（），

则=x+y+z=a+b+c，

||2=x2+y2+z2，||2=++，

由||2•||2≥||2，

则有（x2+y2+z2）（++）≥（a+b+c）2，

即有++≥．

当且仅当a：b：c=x2：y2：z2，不等式取等号．

证明：（1）证法1：∵x、y是不全为零的实数，

∴2x2+y2-（x2+xy）

=x2+y2-xy

=+y2＞0，

∴2x2+y2＞x2+xy．

证法2：当xy＜0时，x2+xy＜2x2+y2；

当xy＞0时，作差：x2+y2-xy≥2xy-xy=xy＞0；

又因为x、y是不全为零的实数，

∴当xy=0时，2x2+y2＞x2+xy．

综上，2x2+y2＞x2+xy．

（2）证明：∵++--3

=++--3

=a2（+）+b2（+）+c2（+）-2（++）

=a2+b2+c2≥0（当且仅当a=b=c时，取得等号），

∴++-≥3．

证明：∵y=log（x+1）F（x，y），

∴F（x，y）=（1+x）y，

∴F（x-1，y）=xy，F（y-1，x）=yx，

依题意，问题转化为证明xy＞yx，

即证ylnx＞xlny，即证＞，

记h（x）=，则h′（x）=，

∵当x＞e时，h′（x）＞0，

∴函数h（x）在区间（e，+∞）上单调递减，

又∵e＜x＜y，

∴h（x）＞h（y），

即F（x-1，y）＞F（y-1，x）．

（Ⅰ）证明：令函数，定义域是{x∈R|x＞1}，

由，可知函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，

故当x＞1时，，即．

（Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式可化为…（*）

问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，

构造函数，

则，

（1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a-2）≤0，则g‘（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增，

则g（t）＞g（0）=0，即不等式对任意的正实数t恒成立．

（2）当a＞2时，a（a-2）＞0

因此t∈（0，a（a-2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减；

t∈（a（a-2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增，

故，由a＞2，即a-1＞1，

令x=a-1＞1，由（Ⅰ）可知，不合题意．

综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]．

（Ⅲ）证明：要证，即证，

由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立，

取可得不等式成立，

综上，不等式成立．

解：（1）当a=5时，不等式f（x）≥0可化为：|x-1|-|2x-5|≥0，

等价于（x-1）2≥（2x-5）2，解得2≤x≤4，

∴不等式f（x）≥0的解集为[2，4]．

（2）据题意，由不等式f（x）≥3的解集为A，若5∈A，6∉A，

可得：，解得，∴9≤a＜10．

又∵a∈Z，∴a=9．

证明：ab+bc+cd+da-（a2+b2+c2+d2）

=-[2 a2+2b2+2c2+2d2-2ab-2bc-2cd-2da]

=-[（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2]≤0，

当且仅当a=b=c=d时，等号成立．

∴ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2