- 不等式
- 共1649题
（选做题）选修4-5：不等式选讲
已知|x1-2|＜1，|x2-2|＜1．
（Ⅰ）求证：|x1-x2|＜2；
（Ⅱ）若f（x）=x2-x+1，求证：|x1-x2|≤|f（x1）-f（x2）|≤5|x1-x2|．
正确答案
证明：（I）∵|x1-x2|=|（x1-2）-（x2-2）|≤|x1-2|+|x2-2|＜1+1=2，
∴|x1-x2|＜2 成立．
（II）|f（x1）-f（x2）|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|，∵|x1-2|＜1，∴-1＜x1-2＜1，即1＜x1＜3，
同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6．∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2-1＜5，
∵0≤|x1-x2|＜2，|x1-x2|≤|x1-x2||x1+x2-1|≤5|x1-x2|，
∴|x1-x2|≤|f（x1）-f（x2）|≤5|x1-x2|．
解析
证明：（I）∵|x1-x2|=|（x1-2）-（x2-2）|≤|x1-2|+|x2-2|＜1+1=2，
∴|x1-x2|＜2 成立．
（II）|f（x1）-f（x2）|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|，∵|x1-2|＜1，∴-1＜x1-2＜1，即1＜x1＜3，
同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6．∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2-1＜5，
∵0≤|x1-x2|＜2，|x1-x2|≤|x1-x2||x1+x2-1|≤5|x1-x2|，
∴|x1-x2|≤|f（x1）-f（x2）|≤5|x1-x2|．
已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．
正确答案
证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，
则（ab+cd）（ac+bd）=a2bc+b2ad+c2ad+d2bc
=（a2+d2）bc+（b2+c2）ad
≥2adbc+2bcad=4abcd，
当且仅当a=d，b=c取得等号．
则有（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd成立．
解析
证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，
则（ab+cd）（ac+bd）=a2bc+b2ad+c2ad+d2bc
=（a2+d2）bc+（b2+c2）ad
≥2adbc+2bcad=4abcd，
当且仅当a=d，b=c取得等号．
则有（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd成立．
ab＞0，则①|a+b|＞|a|②|a+b|＜|b|③|a+b|＜|a-b|④|a+b|＞|a-b|四个式中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于①|a+b|＞|a|；因为ab＞0，即a、b同号且都不为0，则|a+b|=|a|+|b|＞|a|，故成立．
对于②|a+b|＜|b|；因为ab＞0，即a、b同号且都不为0，则|a+b|=|a|+|b|＞|b|，故不成立
对于③|a+b|＜|a-b|；因为根据绝对值不等式|a+b|=|a|+|b|＞|a-b|，故显然不成立．
对于④|a+b|＞|a-b|；因为根据绝对值不等式|a+b|=|a|+|b|＞|a-b|，故成立．
故①④正确．
故选C．
解不等式
（1）|x-2|＜|x+1|；
（2）4＜|2x-3|≤7．
正确答案
解：（1）|x-2|＜|x+1|，两边平方可得x2-2x+4＜x2+2x+1，∴
∴不等式的解集为{x|
（2）4＜|2x-3|≤7，等价于4＜2x-3≤7或-7≤2x-3＜-4
∴
∴不等式的解集为{x|
解析
解：（1）|x-2|＜|x+1|，两边平方可得x2-2x+4＜x2+2x+1，∴
∴不等式的解集为{x|
（2）4＜|2x-3|≤7，等价于4＜2x-3≤7或-7≤2x-3＜-4
∴
∴不等式的解集为{x|
已知x＞y＞0，求证：
正确答案
证明：由x＞y＞0，可得x-y＞0，
要证
即证
即有x＜y+x-y+2
即为2
则有
解析
证明：由x＞y＞0，可得x-y＞0，
要证
即证
即有x＜y+x-y+2
即为2
则有
记关于x的不等式
（1）若a=2，求集合P，Q和P∩Q；
（2）若P∪Q=Q，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）a=2代入
所以P={x|-1＜x＜2}（4分），
不等式（1+x）（1-|x|）≥0⇔
解得：0≤x≤1或x＜0．
∴Q={x|x≤1}；
P∩Q={x|-1＜x≤1}；
（2）Q={x|x≤1}（6分）
①当a＞-1时，∴P={x|-1＜x＜a}（8分）
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q（10分）
所以-1＜a≤1，
②当a=-1时，∴P=∅，
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q
所以a=-1，
③当a＞-1时，∴P={x|a＜x＜-1}（14分）
∴P⊆Q，有P∪Q=Q，
∴所以a＜-1，
综上所述，a的取值范围a≤1．（16分）
解析
解：（1）a=2代入
所以P={x|-1＜x＜2}（4分），
不等式（1+x）（1-|x|）≥0⇔
解得：0≤x≤1或x＜0．
∴Q={x|x≤1}；
P∩Q={x|-1＜x≤1}；
（2）Q={x|x≤1}（6分）
①当a＞-1时，∴P={x|-1＜x＜a}（8分）
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q（10分）
所以-1＜a≤1，
②当a=-1时，∴P=∅，
∵P∪Q=Q，∴P⊆Q
所以a=-1，
③当a＞-1时，∴P={x|a＜x＜-1}（14分）
∴P⊆Q，有P∪Q=Q，
∴所以a＜-1，
综上所述，a的取值范围a≤1．（16分）
用适合的方法证明下列命题：
（1）
（2）若a，b为两个不相等的正数，且a+b=1，则
正确答案
证明：（1）
=
同理可得，
由
即
即有
即为
（2）由a+b=1，（a，b＞0且a≠b），
则
解析
证明：（1）
=
同理可得，
由
即
即有
即为
（2）由a+b=1，（a，b＞0且a≠b），
则
若x2+y2≤1，求证：①
正确答案
证明：由x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ（|r|≤1，0≤θ≤2π）．
①|x+y|=|rcosθ+rsinθ|=
∴|x+y|
②|x2+2xy-y2|=|r2cos2θ+2r2sinθcosθ-r2sin2θ|=r2|cos2θ+sin2θ|=
解析
证明：由x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ（|r|≤1，0≤θ≤2π）．
①|x+y|=|rcosθ+rsinθ|=
∴|x+y|
②|x2+2xy-y2|=|r2cos2θ+2r2sinθcosθ-r2sin2θ|=r2|cos2θ+sin2θ|=
选修4-5：不等式选讲
不等式a2-3a≤|x+3|+|x-1|对任意实数x恒成立，实数a的取值范围为______．
正确答案
-1＜a＜4
解析
解：根据函数y=f（x）=|x+3|+|x-1|的几何意义知：ymin=4．
要使不等式a2-3a≤|x+3|+|x-1|对任意实数x恒成立，
只需a2-3a≤（|x+3|+|x-1|）min，
即a2-3a≤4，
解得-1＜a＜4，
所以实数a的取值范围为-1＜a＜4．
故答案为：-1＜a＜4．
设函数f（x）=|x-1+a|+|x-a|
（1）若a≥2，x∈R，证明：f（x）≥3；
（2）若f（1）＜2，求a的取值范围．
正确答案
（1）证明：f（x）=|x-1+a|+|x-a|≥|（x-1+a）-（x-a）|=|2a-1|
∵a≥2，∴|2a-1|≥3，
∴f（x）≥3；
（2）解：f（1）=|a|+|1-a|
a≤0时，f（1）=|a|+|1-a|=1-2a
∵f（1）＜2，∴1-2a＜2，∴a＞-
∴-
0＜a≤1时，f（1）=1＜2恒成立；
a＞1时，f（1）=|a|+|1-a|=2a-1
∵f（1）＜2，∴2a-1＜2，∴a＜
∴1＜a＜
综上，a的取值范围是（-
解析
（1）证明：f（x）=|x-1+a|+|x-a|≥|（x-1+a）-（x-a）|=|2a-1|
∵a≥2，∴|2a-1|≥3，
∴f（x）≥3；
（2）解：f（1）=|a|+|1-a|
a≤0时，f（1）=|a|+|1-a|=1-2a
∵f（1）＜2，∴1-2a＜2，∴a＞-
∴-
0＜a≤1时，f（1）=1＜2恒成立；
a＞1时，f（1）=|a|+|1-a|=2a-1
∵f（1）＜2，∴2a-1＜2，∴a＜
∴1＜a＜
综上，a的取值范围是（-
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