- 统计与统计案例
- 共590题
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.
正确答案
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.
（Ⅲ）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
知识点
某公司计
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,
21.若
22.若要求“需更换的易损零件数不大于
23.假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
正确答案
解析
考查方向
解题思路
易错点
读题、审题.
正确答案
19
解析
（2）由柱状图知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故
考查方向
解题思路
易错点
读题、审题.
正确答案
19
解析
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
考查方向
解题思路
易错点
读题、审题.
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
17.用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
18.问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
正确答案
（Ⅰ）解：由已知
解析
试题分析：本题属于线性规划的实际应用问题，主要考察了用二元线性规划的基础知识和基本方法解决简单实际问题的能力，以及概括能力和运算求解能力，属于简单题，解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法.本题只要画对可行域，明确目标函数的意义即可解决，解析如下：
试题解析：（Ⅰ）解：由已知
考查方向
解题思路
（Ⅰ）根据生产原材料不能超过A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，列出不等式关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域；
易错点
不能准确画出可行域、忽略参数的取值范围导致丢分。
正确答案
（Ⅱ）生产甲种肥料
解析
试题分析：本题属于线性规划的实际应用问题，主要考察了用二元线性规划的基础知识和基本方法解决简单实际问题的能力，以及概括能力和运算求解能力，属于简单题，解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法.本题只要画对可行域，明确目标函数的意义即可解决，解析如下：
（Ⅱ）解：设利润为z万元，则目标函数
考查方向
解题思路
（Ⅱ）目标函数
易错点
不能准确画出可行域、忽略参数的取值范围导致丢分。
某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.
正确答案
解：（I）由用水量的频率分布直方图知，
该市居民该月用水量在区间
率依次为
所以该月用水量不超过
依题意，
（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：
知识点
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；
(II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.
求P(B)的估计值；
（III）求续保人本年度平均保费估计值.
正确答案
(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为
故P(A)的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为
故P(B)的估计值为0.3.
(Ⅲ)由题所求分布列为：
调查200名续保人的平均保费为
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
知识点
某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
16.从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
17.在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学
正确答案
解析
（1）有调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30=15人，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为
考查方向
解题思路
在正确理解题意的情况下，理解随机事件，通过比例解法求解。
易错点
随机事件的理解
正确答案
解析
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选一人，其一切可能的结果组成的基本事件有
共15个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“
考查方向
解题思路
在正确理解题意的情况下，准确确定基本
易错点
古典概型的基本事件的列举
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。
(1) 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。
附：
正确答案
(1) 有关；(2)
解析
(1)
由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
因为3.030＜3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关。
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}。
其中ai表示男性，i＝1,2,3。bj表示女性，j＝1,2。
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的。
用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，
事件A由7个基本事件组成，因而
知识点
某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )。
正确答案
解析
根据频率分布直方图，低于60分的人所占频率为：(0.005＋0.01)×20＝0.3，故该班的学生数为
知识点
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