数系的扩充和复数的概念
共1735题

数系的扩充和复数的概念
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题型：填空题

填空题

若复数(m∈R，i是虚数单位)为纯虚数，则m=______．

正确答案

=+i，根据纯虚数的概念得出，解得m=2．

故答案为：2

题型：填空题

填空题

已知=-2+bi（a，b∈R，i为虚数单位），那么a+bi的共轭复数为______．

正确答案

∵=-2+bi，（a，b∈R，i为虚数单位），∴=-2+bi，∴+i=-2+bi．

由两个复数相等的充要条件可得 =-2，=b，解得 a=-3，b=1．

∴a+bi=-3+i，a+bi的共轭复数为-3-i，

故答案为：-3-i．

题型：简答题

简答题

已知关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的二根为x1，x2，且满足关系(1-3bi)i=c-（i为虚数单位）．

（1）求b，c的值；（2）求方程的二根x1，x2．

正确答案

（1）由题设 (1-3bi)i=c-，

即：-（1-3bi）=ci-b，

得

解得b=1，c=3，

（2）将（1）中b=1，c=3的代入方程x2+bx+c=0，

得：x2+x+3=0

求出两虚根为 x1=，，x1=．

题型：简答题

简答题

已知复数z1=（m2-2m+3）-mi，z2=2m+（m2+m-1）i

其中i是虚数单位，m∈R

（1）若z1，z2互为共轭复数，求实数m的值

（2）若z1-z2是负实数，求实数m的取值集合

（3）求|z1+z2|的最小值．

正确答案

（1）若 z1，z2互为共轭复数，则有，…（2分）

解得，m=1．…（4分）

（2）根据 z1-z2=[(m2-2m+3)-2m]+[(-m)-(m2+m-1)]i=（m2-4m+3）-（m2+2m-1）i，…（5分）

依题意，有．…（7分）

解得无解，所以实数m的取值集合为∅．…（9分）

（3）z1+z2=[(m2-2m+3)+2m]+[(-m)+(m2+m-1)]i=（m2+3）-（m2-1）i．…（10分）

所以 |z1+z2|===．（12分）

因为m2≥0，所以当m2=0时，|z1+z2|取得最小值．…（14分）

题型：简答题

简答题

已知复数z=m（m-1）+（m2+2m-3）i（m∈R）

（1）若z是实数，求m的值；

（2）若z是纯虚数，求m的值；

（3）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．

正确答案

（1）z为实数⇔m2+2m-3=0，解得：m=-3或m=1；

（2）z为纯虚数⇔，解得：m=0；

（3）z所对应的点在第四象限⇔，解得：-3＜m＜0．

题型：填空题

填空题

复数的实部为______．

正确答案

复数==1+2i，其实部为1

故答案为：1

题型：简答题

简答题

实数m分别取何值时，复数z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i

（1）是实数；

（2）是纯虚数；

（3）对应点在x轴上方？

正确答案

（1）由z为实数，得m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3；

（2）由z为纯虚数，得

，解得m=-2；

（3）由z的对应点在x轴上方，得m2-2m-15＞0，解得m＜-3或m＞5．

题型：填空题

填空题

已知复数z满足=3（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为______．

正确答案

设复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式得 =3，

=3，=3，∴a=1，b=，

∴a+b=1+=，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为______．

正确答案

由题意知，==，

∵是纯虚数，∴a=6，

故答案为：6．

题型：填空题

填空题

若复数z1=-1+ai，z2=b-i，a，b∈R，且z1+z2与z1•z2均为实数，则=______．

正确答案

复数z1=-1+ai，z2=b-i，a，b∈R，

所以z1+z2=b-1+（a-）i是实数，a=

z1•z2=-b+a+i+abi是实数，所以b=-1

z1=-1+i，z2=-1-i

所以= -=

==--i

故答案为：--i

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