- 双曲线的相关应用
- 共53题
设向量a＝(
（1）若|a|＝|b|，求x的值；
（2）设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值。
正确答案
（1）
（2）
解析
（1）由|a|2＝
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈
所以
（2）f(x)＝a·b＝
当
所以f(x)的最大值为
知识点
设
A
B
C
D
正确答案
解析
略
知识点
在复平面内，复数
A
B
C
D
正确答案
解析
略
知识点
给定
（1）设
（2）设
正确答案
（1）
解析
（1）由题可知
（2）由题可知
知识点
执行如图所示的程序框图，则输出的
正确答案
解析
∵k＝1，s＝1＋(1－1)2＝1；
k＝2，s＝1＋(2－1)2＝2；
k＝3，s＝2＋(3－1)2＝6；
k＝4，s＝6＋(4－1)2＝15；
k＝5，s＝15＋(5－1)2＝31＞15.
∴ k＝5.故选C。
知识点
已知F为双曲线C：
正确答案
44
解析
如图所示，设双曲线右焦点为F1，则F1与A重合，坐标为(5,0)，则|PF|＝|PF1|＋2a，|QF|＝|QF1|＋2a，所以|PF|＋|QF|＝|PQ|＋4a＝4b＋4a＝28，∴△PQF周长为28＋4b＝44.
知识点
如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是F1（-2,0）F2（2,0），且双曲线经过点P（2，3）。
（1） 求双曲线的标准方程；
（2）设点A是双曲线的右顶点，若直线l平行于直线AP，且l与双曲线交于M,N两点，若
︱+︱=4,试求直线l的方程
正确答案
见解析
解析
（1）由题意得：双曲线焦点在x轴上，且c=2
由双曲线定义得：
=2
∴
∴双曲线的标准方程为
（2）根据双曲线的标准方程得：点A的坐标为（1,0）
∴直线AP的斜率为
∵直线l平行于直线AP
∴设直线l的方程为
联立方程
所以 
因为直线 l 与双曲线有两个交点，
所以 (6 b)2－4×6×(b 2＋3)＞0，
解得 b＜－ 或 b＞，即 b 的取值范围是 { b | b＜－ 或 b＞}。
∴
所以，所求的直线方程为：
知识点
飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。
（1）求A、C两个救援中心的距离；
（2）求在A处发现P的方向角；
正确答案
见解析。
解析
（1）
以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即A、C两个救援中心的距离为
（2）
又
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为
联立两方程解得：
∴∠PAB＝120°
所以P点在A点的北偏西30°处
知识点
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。
（1）证明：CD//AB；
（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆。
正确答案
见解析
解析
（1）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA，
所以CD//AB.
（2）由（1）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A，B，G，F四点共圆
知识点
已知双曲线C的两个焦点坐标分别为
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程.
（3）已知定点G（1，2），点D是双曲线C右支上的动点，求
正确答案
见解析。
解析
（1）依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，
所以其虚半轴长
又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为
（2）设A、B的坐标分别为
两式相减，得
因为M（2，1）为AB的中点，所以
所以
故AB所在直线l的方程为
（3）由已知，得
所以
因为
所以
故
知识点
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