- 双曲线的相关应用
- 共53题
已知椭圆C:的离心率
,左、右焦点分别为
,抛物线
的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆M:的切线
与椭圆相交于A、B两点,那么以AB为直径的圆是否经过定点?如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由,
正确答案
见解析。
解析
(1)因为椭圆C的离心率,所以
,即
,(4分)
因为抛物线的焦点
恰好是该椭圆的一个顶点,
所以,所以
,
,所以椭圆C的方程为
,(6分)
(2)(i)当直线的斜率不存在时。
因为直线与圆M相切,故其中的一条切线方程为
。
由不妨设
,
,
则以AB为直径的圆的方程为,(6分)
(ii)当直线的斜率为零时。
因为直线与圆M相切,所以其中的一条切线方程为
。
由不妨设
,
,
则以AB为直径的圆的方程为。
显然以上两圆都经过点O(0,0),(8分)
(iii)当直线的斜率存在且不为零时。
设直线的方程为
。
由消去
,得
,
所以设,
,则
,
。
所以。
所以,①(11分)
因为直线和圆M相切,所以圆心到直线
的距离
,
整理,得, ②
将②代入①,得,显然以AB为直径的圆经过定点O(0,0)
综上可知,以AB为直径的圆过定点(0,0),(13分)
知识点
已知双曲线的方程为,则其渐近线的方程为___________,若抛物线
的焦点与双曲线的右焦点重合,则
.
正确答案
,
解析
略
知识点
已知曲线的方程为
(
)。
(1)讨论曲线所表示的轨迹形状;
(2)若时,直线
与曲线
相交于两点
,
,且
,求曲线
的方程。
正确答案
见解析
解析
(1)当时,曲线
的轨迹是焦点在
轴上的双曲线;……(1分)
当时,曲线
的轨迹是两条平行的直线
和
;……(1分)
当时,曲线
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆; …………(1分)
当时,曲线
的轨迹是圆
; …………(1分)
当时,曲线
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆。 …………(1分)
(2)由,得
……① …………(2分)
因为,所以方程①为一元二次方程,△
,所以直线
与曲线
必有两个交点。 …………(1分)
设,
,则
,
为方程①的两根,所以
,
, …………(1分)所以
,……(2分)
,解得
或
。 (2分)因此曲线
的方程为
或
(1分)
知识点
已知双曲线与椭圆的焦点相同,且它们一个交点的纵坐标为4,则双曲线的虚轴长为( )
正确答案
解析
略
知识点
已知是双曲线
(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是
正确答案
解析
略
知识点
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