- 相关点法求轨迹方程
- 共16题
已知函数,其中.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求的单调区间。
正确答案
见解析
解析
(1)解:当时,,。
由于,,
所以曲线在点处的切线方程是。
(2)解:,。
① 当时,令,解得 。
的单调递减区间为;单调递增区间为,。
当时,令,解得 ,或。
② 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为,。
③ 当时,为常值函数,不存在单调区间。
④ 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为,。
知识点
已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为,点P的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程;
(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M、N两点,直线BM与椭圆的交点为D。求证,A、D、N三点共线。
正确答案
见解析
解析
(1)设P点坐标,则(),(),
由已知,化简得:.
所求曲线C的方程为()。
(2)由已知直线AQ的斜率存在,
且不等于0,设方程为,
由,消去得:
(1).
因为,是方程(1)的两个根,
所以,得,
又,所以。
当,得,即。
又直线BQ的斜率为,方程为,当时,得,即。
直线BM的斜率为,方程为。
由,消去得:
(2).
因为2,是方程(2)的两个根,所以
,
得,又,即。
由上述计算:,,。
因为,,所以。
所以A、D、N三点共线。
知识点
设P是圆x2+y2=4上的任意一点,过P作x轴的垂线段PD,D为垂足, M是线段PD上的点,且满足|DM|=m|PD|(0<m<1),当点P在圆上运动时,记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过曲线C的左焦点F作斜率为的直线l交曲线C于A、B两点,点Q满足,是否存在实数m,使得点Q在曲线C上,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)如图设M(x,y)、P(x0,y0),则由|DM|=m|PD|(0<m<1)得
x= x0,|y|=m| y0|,即
∵,∴即为曲线C的方程。………6′
(2)设,则
由得:………8′
设A(x1,y1)、B(x2,y2).
则,.
∴,………9′
∵
即Q点坐标为,将Q点代入,得.
∴存在当时,Q点在曲线C上。………13′
知识点
如图6,圆,P是圆C上的任意一动点,A点坐标为(2,0),线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.
(1)求点Q的轨迹G的方程;
(2)已知B,D是轨迹G上不同的两个任意点,M为BD的中点. ①若M的坐标为M
(2,1),求直线BD所在的直线方程;②若BD不经过原点,且不垂直于x轴,点O为轨迹G的中心. 求证:直线BD和直线OM的斜率之积是常数(定值).
正确答案
见解析。
解析
(1)圆C的圆心为C(-2,0),半径r=6,.
连结,由已知得,
所以.
根据椭圆的定义,点Q的轨迹G是中心在原点,以C、A为焦点,长轴长等于的椭圆,
即a=3,c=2,,
所以,点Q的轨迹G的方程为.
(2)①设B、D的坐标分别为、,
则
两式相减,得,
当BD的中点M的坐标为(2,1)时,有,
所以,即.
故BD所在的直线方程为,即.
②证明:设,且,
由①可知,
又
所以(定值).
知识点
若双曲线的离心率为,则抛物线的焦点到的渐近线距离是______。
正确答案
解析
由题可知,即,所以双曲线的渐近线方程为;而抛物线的焦点为,由点到直线的距离公式可知。
知识点
设函数.
(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;
(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;
(3)当时,求函数在区间上的最大值。
正确答案
见解析
解析
(1).
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且,
即,且,解得.………………3分
(2)记,当时,
,
,
令,得.
当变化时,的变化情况如下表:
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,……………6分
故在区间内单调递增,在区间内单调递减,
从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当
解得,所以的取值范围是.………… ………9分
(3)记,当时, .
由(2)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为.
①当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;
②当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为;
当且,即时,t+3<2且h(2)=h(-1),所以在区间上的最大值为;
③当时,,
在区间上单调递减,在区间上单调递增,而最大值为与中的较大者。
由知,当时,,
所以在区间上的最大值为;……13分
④当时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为
.………………………………………………14分
知识点
设椭圆的左右顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),离心率e=,过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|。
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点,试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论。
正确答案
见解析。
解析
知识点
设椭圆的左右顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),离心率e=,过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|。
(1)求椭圆的方程;
(2)求动点C的轨迹E的方程;
(3)设直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点,试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论。
正确答案
见解析。
解析
解:(1)由题意,可得a=2,e==,可得c=,∴ b2=a2﹣c2=1,
因此,椭圆的方程为,﹣
(2)设C(x,y),P(x0,y0),由题意得,即,
又,代入得,即x2+y2=4。
即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4。
(3)设C(m,n),点R的坐标为(2,t),
∵A、C、R三点共线,∴∥,
而=(m+2,n),=(4,t),则4n=t(m+2),
∴t=,可得点R的坐标为(2,),点D的坐标为(2,),
∴直线CD的斜率为k==,
而m2+n2=4,∴﹣n2=m2﹣4,代入上式可得k==﹣,
∴直线CD的方程为y﹣n=﹣(x﹣m),化简得mx+ny﹣4=0,
∴圆心O到直线CD的距离d===2=r,
因此,直线CD与圆O相切,即CD与曲线E相切。
知识点
已知,点B是轴上的动点,过B作AB的垂线交轴于点Q,若,.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)是否存在定直线,以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值,若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。
正确答案
(1)y2=x(2)x=
解析
(1)设B(0,t),设Q(m,0),t2=|m|,m0, m=-4t2,
Q(-4t2,0),设P(x,y),则=(x-,y),=(-4t2-,0),
2=(-,2 t), +=2。
(x-,y)+ (-4t2-,0)= (-,2 t),
x=4t2,y=2 t, y2=x,此即点P的轨迹方程; 6分。
(2)由(1),点P的轨迹方程是y2=x;设P(y2,y),M (4,0) ,则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(,), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:
L=2
=2=2 10分
若a为常数,则对于任意实数y,L为定值的条件是a-=0, 即a=时,L=
存在定直线x=,以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。
知识点
已知椭圆的中心为原点,离心率,其一个焦点在抛物线的准线上,若抛物线与直线相切。
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆上运动时,设动点的运动轨迹为,若点满足:,其中是上的点,直线与的斜率之积为,试说明:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由,
抛物线与直线相切,
抛物线的方程为:,其准线方程为:,
离心率, ,
故椭圆的标准方程为
(2)设,,
则当点在椭圆上运动时,
动点的运动轨迹
的轨迹方程为:
由得
设分别为直线,的斜率,由题设条件知
因此
因为点在椭圆上,所以,
故
所以,从而可知:点是椭圆上的点,
存在两个定点,且为椭圆的两个焦点,使得为定值,其坐标为。
知识点
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