热门试卷

X 查看更多试卷
1
题型:简答题
|
简答题 · 13 分

已知函数,其中.

(1)当时,求曲线在点处的切线方程;

(2)求的单调区间。

正确答案

见解析

解析

(1)解:当时,

由于

所以曲线在点处的切线方程是

(2)解:

① 当时,令,解得

的单调递减区间为;单调递增区间为

时,令,解得 ,或

② 当时,的单调递减区间为;单调递增区间为

③ 当时,为常值函数,不存在单调区间。

④ 当时,的单调递减区间为;单调递增区间为

知识点

相关点法求轨迹方程
1
题型:简答题
|
简答题 · 14 分

已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为,点P的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程;

(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M、N两点,直线BM与椭圆的交点为D。求证,A、D、N三点共线。

正确答案

见解析

解析

(1)设P点坐标,则),),

由已知,化简得:.

所求曲线C的方程为)。

(2)由已知直线AQ的斜率存在,

且不等于0,设方程为

,消去得:

(1).

因为是方程(1)的两个根,

所以,得

,所以

,得,即

又直线BQ的斜率为,方程为,当时,得,即

直线BM的斜率为,方程为

,消去得:

(2).

因为2,是方程(2)的两个根,所以

,又,即

由上述计算:

因为,所以

所以A、D、N三点共线。

知识点

相关点法求轨迹方程
1
题型:简答题
|
简答题 · 13 分

设P是圆x2+y2=4上的任意一点,过P作x轴的垂线段PD,D为垂足, M是线段PD上的点,且满足|DM|=m|PD|(0<m<1),当点P在圆上运动时,记M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)过曲线C的左焦点F作斜率为的直线l交曲线C于A、B两点,点Q满足,是否存在实数m,使得点Q在曲线C上,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)如图设M(x,y)、P(x0,y0),则由|DM|=m|PD|(0<m<1)得

x= x0,|y|=m| y0|,即

,∴即为曲线C的方程。………6′

(2)设,则

得:………8′

设A(x1,y1)、B(x2,y2).

.

,………9′

即Q点坐标为,将Q点代入,得.

∴存在当时,Q点在曲线C上。………13′

知识点

向量在几何中的应用直线与椭圆的位置关系相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题
1
题型:简答题
|
简答题 · 14 分

如图6,圆,P是圆C上的任意一动点,A点坐标为(2,0),线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.

(1)求点Q的轨迹G的方程;

(2)已知B,D是轨迹G上不同的两个任意点,M为BD的中点. ①若M的坐标为M

(2,1),求直线BD所在的直线方程;②若BD不经过原点,且不垂直于x轴,点O为轨迹G的中心. 求证:直线BD和直线OM的斜率之积是常数(定值).

正确答案

见解析。

解析

(1)圆C的圆心为C(-2,0),半径r=6,.

连结,由已知得

所以.

根据椭圆的定义,点Q的轨迹G是中心在原点,以C、A为焦点,长轴长等于的椭圆,

即a=3,c=2,

所以,点Q的轨迹G的方程为.

(2)①设B、D的坐标分别为

两式相减,得

当BD的中点M的坐标为(2,1)时,有

所以,即.

故BD所在的直线方程为,即.

②证明:设,且

由①可知,

所以(定值).

知识点

相关点法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:填空题
|
填空题 · 5 分

若双曲线的离心率为,则抛物线的焦点到的渐近线距离是______。

正确答案

解析

由题可知,即,所以双曲线的渐近线方程为;而抛物线的焦点为,由点到直线的距离公式可知

知识点

相关点法求轨迹方程
1
题型:简答题
|
简答题 · 14 分

设函数.

(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;

(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;

(3)当时,求函数在区间上的最大值。

正确答案

见解析

解析

(1).

因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且,

,且,解得.………………3分

(2)记,当时,

,

,

,得.

变化时,的变化情况如下表:

所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,……………6分

在区间内单调递增,在区间内单调递减,

从而函数在区间内恰有两个零点,当且仅当

解得,所以的取值范围是.………… ………9分

(3)记,当时, .

由(2)可知,函数的单调递增区间为;单调递减区间为.

①当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为;

②当,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为

,即时,t+3<2且h(2)=h(-1),所以在区间上的最大值为

③当时,,

在区间上单调递减,在区间上单调递增,而最大值为中的较大者。

知,当时,,

所以在区间上的最大值为;……13分

④当时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为

.………………………………………………14分

知识点

相关点法求轨迹方程
1
题型:简答题
|
简答题 · 14 分

设椭圆的左右顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),离心率e=,过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|。

(1)求椭圆的方程;

(2)求动点C的轨迹E的方程;

(3)设直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点,试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程相关点法求轨迹方程
1
题型:简答题
|
简答题 · 14 分

设椭圆的左右顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),离心率e=,过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|。

(1)求椭圆的方程;

(2)求动点C的轨迹E的方程;

(3)设直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点,试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

解:(1)由题意,可得a=2,e==,可得c=,∴  b2=a2﹣c2=1,

因此,椭圆的方程为,﹣

(2)设C(x,y),P(x0,y0),由题意得,即

,代入得,即x2+y2=4。

即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4。

(3)设C(m,n),点R的坐标为(2,t),

∵A、C、R三点共线,∴

=(m+2,n),=(4,t),则4n=t(m+2),

∴t=,可得点R的坐标为(2,),点D的坐标为(2,),

∴直线CD的斜率为k==

而m2+n2=4,∴﹣n2=m2﹣4,代入上式可得k==﹣

∴直线CD的方程为y﹣n=﹣(x﹣m),化简得mx+ny﹣4=0,

∴圆心O到直线CD的距离d===2=r,

因此,直线CD与圆O相切,即CD与曲线E相切。

知识点

直线与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程相关点法求轨迹方程
1
题型:简答题
|
简答题 · 12 分

已知,点B是轴上的动点,过B作AB的垂线轴于点Q,若,.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)是否存在定直线,以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值,若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

正确答案

(1)y2=x(2)x=

解析

(1)设B(0,t),设Q(m,0),t2=|m|,m0, m=-4t2

 Q(-4t2,0),设P(x,y),则=(x-,y),=(-4t2-,0),

2=(-,2 t), +=2

(x-,y)+ (-4t2-,0)= (-,2 t),

 x=4t2,y=2 t, y2=x,此即点P的轨迹方程;       6分。

(2)由(1),点P的轨迹方程是y2=x;设P(y2,y),M (4,0) ,则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

L=2

=2=2      10分

若a为常数,则对于任意实数y,L为定值的条件是a-=0, 即a=时,L=

存在定直线x=,以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值

知识点

相关点法求轨迹方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
|
简答题 · 12 分

已知椭圆的中心为原点,离心率,其一个焦点在抛物线的准线上,若抛物线与直线相切。

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)当点在椭圆上运动时,设动点的运动轨迹为,若点满足:,其中上的点,直线的斜率之积为,试说明:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由

抛物线与直线相切,

抛物线的方程为:,其准线方程为:

离心率

故椭圆的标准方程为             

(2)设

当点在椭圆上运动时,

动点的运动轨迹

的轨迹方程为: 

分别为直线的斜率,由题设条件知

因此

因为点在椭圆上,所以

所以,从而可知:点是椭圆上的点,

存在两个定点,且为椭圆的两个焦点,使得为定值,其坐标为。  

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题
下一知识点 : 直接法求轨迹方程
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 相关点法求轨迹方程

扫码查看完整答案与解析

  • 上一题
  • 1/10
  • 下一题