热门试卷

解：（1）连AC交BD于O，连MO则O为AC中点，因为M为PC中点，

所以MO∥AP，又AP⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，则AP∥平面MBD．

（2）当BN=时，平面PCN⊥平面PQB．

证明如下：正△PAD中，Q为AD的中点，故PQ⊥AD

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

∴PQ⊥底面ABCD，

又CN⊂平面ABCD，则PQ⊥CN

又因为长方形ABCD中，由相似三角形得，则CN⊥BQ，

∴CN⊥平面PQB，

又∵CN⊂平面PCN，

所以，平面PCN⊥平面PQB．

解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD．

知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，

则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．

又PE：ED=2：1，所以．

从而，θ=30°．

（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．

由题设条件，相关各点的坐标分别为.．

所以．．．

设点F是棱PC上的点，，其中0＜λ＜1，

则=．

令得即

解得．即时，．

亦即，F是PC的中点时，、、共面．

又BF⊄平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．

解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，

证法一：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①

由，知E是MD的中点．

连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．

所以BM∥OE．②

由①、②知，平面BFM∥平面AEC．

又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．

证法二：

因为==．

所以、、共面．

又BF⊄平面ABC，从而BF∥平面AEC．

（1）证明：∵在等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，

∴在四棱锥P-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA，

又PA⊥AB，DC∥AB

∴DC⊥PA，DC⊥DA，

∴DC⊥平面PAD

∵DC⊂平面PCD

∴平面PAD⊥平面PCD…（4分）

（2）解：∵DA⊥PA且PA⊥AB，

∴PA⊥平面ABCD，

又PA⊂平面PAB∴平面PAB⊥平面ABCD，

过M作MN⊥AB，垂足为N，则MN⊥平面ABCD．

依据题意，，而VP-ABCD=，

∴VM-ABC==

又易知，AB=2

∴AC2+BC2=AB2即AC⊥BC

∴S△ABC=1

∴MN=，故，

所以M是PB的中点．…（8分）

由AC⊥BC，PA⊥BC得BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC．

在直角三角形PAB、PBC中，又，故可求得．

设B到平面MAC的距离为d，则由=得：…（12分）