等差数列的定义及性质
共8637题

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等差数列的定义及性质
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题型：填空题

填空题

给出下列四个结论：

①已知△ABC中，三边a，b，c满足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则∠C等于120°．

②若等差数列an的前n项和为Sn，则三点(10，)，(100，)，(110，)共线．

③等差数列an中，若S10=30，S20=100，则S30=210．

④设f(x)=，则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值为．

其中，结论正确的是 ______．（将所有正确结论的序号都写上）

正确答案

①由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得到（a+b）2-c2=3ab，化简得：a2+b2-c2=ab，

则cosC===，根据C∈（0，180°），得到∠C=60°，所以此选项错误；

②因为==a1+d，同理=a1+d，=a1+d，

则=====，

所以三点(10，)，(100，)，(110，)共线．此选项正确；

③根据等差数列的性质可知，S10，S20-S10，S30-S20成等差数列，

得到：2（S20-S10）=S10+（S30-S20），将S10=30，S20=100，

代入得：2（100-30）=30+（S30-100），解得：S30=210．此选项正确；

④因为f（x）+f（1-x）=+

=+=+

===，

则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）=×9=．此选项正确．

所以，正确的结论序号有：②③④．

故答案为：②③④

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2x2，g（x）=alnx（a＞0）．

（1）若直线l交f（x）的图象C于A，B两点，与l平行的另一条直线l1切图象于M，求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；

（3）求证：++…+＜（其中e为无理数，约为2.71828）．

正确答案

（1）证明：设切点M的横坐标为x0，A，B点的横坐标分别为x1，x2，

因为f′（x）=4x，所以kl=kl1=4x0；

令AB方程为y=4x0x+b，则由消去y得2x2-4x0x-b=0，

当△=16+8b＞0时，x1+x2=2x0，所以A，M，B三点的横坐标成等差数列．…（4分）

（2）令F（x）=f（x）-g（x）=2x2-alnx，F′(x)=4x-，

令F'（x）=0，得x=，所以f（x）的减区间为(0，)，增区间为(，+∞)，

∴F（x）极小值=F(x)min=-aln，

不等式f（x）≥g（x）恒成立，等价于-aln≥0，

∴a≤4e且a＞0，即a∈（0，4e]．…（10分）

（3）证明：由（2）得2x2≥4elnx，即≤，所以++…+≤(++…+)＜(++…+)＜…

即++…+＜（14分）

题型：简答题

简答题

在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．

（1）设bn=（n∈N*），证明：数列{bn}是等差数列；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求的值；

（3）设cn=2bn-1，数列{cn}的前n项和为Tn，dn=，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d1+d2+d3+…+dn≥log8（2m+t）成立？请说明理由．

正确答案

（1）an+1=2an+2n，=+1，（2分）

bn+1=bn+1，故{bn}为等差数列，b1=1，bn=n．（4分）

（2）由（1）可得an=n2n-1（6分）

Sn=1•20+2•21+3•22+n•2n-1

2Sn=1•21+2•22+3•23+（n-1）•2n-1+n•2n

两式相减，得-Sn=20+21+22+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n，即Sn=（n-1）2n+1（8分）

∴==（10分）

（3）由（1）可得Tn=n2，（12分）

∴dn==，(d1+d2+d3++dn+dn+1)-(d1+d2+d3++dn)=dn+1=＞0

∴{d1+d2+d3++dn}单调递增，即d1+d2+d3++dn≥d1=，（14分）

要使d1+d2+d3++dn≥log8（2m+t）对任意正整数n成立，

必须且只需≥log8(2m+t)，即0＜2m+t≤2对任意m∈[1，2]恒成立．（16分）

∴[2+t，4+t]⊆（0，2]，即⇒-2＜t≤-2矛盾．

∴满足条件的实数t不存在．

题型：简答题

简答题

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．

（1）求f（0）及f（1）的值；

（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若f(2)=2，un=(n∈N*)，求证数列{un}是等差数列，并求{un}的通项公式．

正确答案

题型：简答题

简答题

已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足ynlogxna=2(a＞0，a≠1)，设y3=18，y6=12．

（1）求数列{yn}的前多少项和最大，最大值为多少？

（2）试判断是否存在自然数M，使当n＞M时，xn＞1恒成立？若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；

（3）令an=logxnxn+1(n＞13，n∈N)，试判断数列{an}的增减性？

正确答案

（1）由已知得：yn=2logaxn设等比数列{xn}的公比为q（q≠1）

由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga=2logaq得{yn}为等差数列，设公差为d

∵y3=18，y6=12，∴d=-2；∴yn=y3+（n-3）d=24-2n

设前k项为最大，则⇒11≤k≤12y12=0

∴前11项和前12项和为最大，其和为132

（2）xn=a12-n，n∈N*；若xn＞1，则a12-n＞1

当a＞1时，n＜12，显然不成立；当0＜a＜1时，n＞12

∴存在M=12，13，14，…，当n＞M时，xn＞1

（3）an=logxnxn+1=loa12-(n+1)=

∵an+1-an=-=＜0

∴an+1＜an∴n＞13时数列{an}为递减数列

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