等差数列的定义及性质
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题型：简答题

简答题

设奇函数f（x）对任意x∈R都有f(x)=f(x-1)+．

（1）求f()和f()+f()(k=0，1，2，…，n)的值；

（2）数列{an}满足：an=f（0）+f()+f()+…+f()+f(1)-f()，数列{an}是等差数列吗？请给予证明．

正确答案

（1）∵f(x)=f(x-1)+，且f（x）是奇函数

∴f()=f(-1)+=f(-)+=-f()+

∴2f()=，故f()=（3分）

因为f(x)=f(x-1)+=-f(1-x)+，所以f(x)+f(1-x)=．

令x=，得f()+f(1-)=，即f()+f()=．（6分）

（2）令sn=f(0)+f()+…+f()+f(1)

又sn=f(1)+f()+…+f()+f(0)

两式相加2sn=[f(0)+f(1)]+[f()+f()]+…+[f(1)+f(0)]=．

所以sn=，（6分）

故an=sn-f()=-=，n∈N*（10分）

又an+1-an=-=．故数列{an}是等差数列．（12分）

题型：简答题

简答题

已知数列{an}中，已知a1=1，an+1=，

（1）求证数列{}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）若对一切n∈N*，等式a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n恒成立，求数列{bn}的通项公式．

正确答案

（1）由an+1=，

得an+1+2anan+1=an，

即an-an+1=2anan+1

两边同除以anan+1，得，-=2，

又=1，

所以数列{}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）=1+2(n-1)=2n-1，

所以数列{an}的通项公式an=

（3）因为对一切n∈N*，

有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=2n①

所以当n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=2n-1②

①-②得，当n≥2时，

anbn=2n-1，

又an=，

所以bn=（2n-1）2n-1

又n=1时，a1b1=21，a1=1，

所以b1=2；

综上得bn=．

题型：简答题

简答题

对负实数a，数4a+3，7a+7，a2+8a+3依次成等差数列

（1）求a的值；

（2）若数列{an}满足an+1=an+1-2an（n∈N+），a1=m，求an的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若对任意n∈N+，不等式a2n+1＜a2n-1恒成立，求m的取值范围．

正确答案

（1）因为4a+3，7a+7，a2+8a+3依次成等差数列，

所以7a+7-（4a+3）=a2+8a+3-（ 7a+7 ），

化简成一个一元二次方程a2-2a-8=0∴a=4或者a=-2

∵a＜0，∴a=-2；

（2）∵an+1=（-2）n+1-2an（n∈N+），

∴两边同除以（-2）n+1得：-=1

所以{}是以-为首项，d=1为公差的等差数列

∴an=(-+n-1)×(-2)n；

（3）∵对任意n∈N+，不等式a2n+1＜a2n-1恒成立

∴m＜

题型：简答题

简答题

已知数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3log14an(n∈N×)，数列{cn}满足cn=an•bn．

（1）求证：{bn}是等差数列；

（2）求数列{cn}的前n项和Sn；

（3）若Cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）由题意知，an=（）n．

∵bn+2=3log14an，b1+2=3log14a1

∴b1=1

∴bn+1-bn=3log14an+1=3log14an=3log14=3log14q=3

∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．

（2）由（1）知，an=（）n．bn=3n-2

∴Cn=（3n-2）×（）n．

∴Sn=1×+4×（）2+…+（3n-2）×（）n，

于是Sn=1×（）2+4×（）3+…（3n-2）×（）n+1，

两式相减得Sn=+3×[（）2+（）3+…+（）n）-（3n-2）×（）n+1，

=-（3n-2）×（）n+1，

∴Sn=-×（）n+1

（3）∵Cn+1-Cn=（3n+1）×（）n+1-（3n-2）×（）n=9（1-n）×（）n+1，

∴当n=1时，C2=C1=

当n≥2时，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＜…＞Cn

∴当n=1时，Cn取最大值是

又Cn≤m2+m-1

∴m2+m-1≥

即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．

题型：简答题

简答题

设数列{an}满足a1=0，且an+1=an++．

（Ⅰ）求a2的值；

（Ⅱ）设=bn，试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式；

（Ⅲ）设g(n)=+++…+，且g（n）≥m（m∈R）对任意n＞1，n∈N*都成立，求m的最大值．

正确答案

（Ⅰ）∵a1=0，且an+1=an++，

∴a2=+=．

（Ⅱ）∵=bn，

∴an=bn2-，代入an+1=an++得到：=(bn+)2，

∵bn＞0，

∴bn+1-bn=，所以数列{bn}是以b1=为首项，公差为的等差数列．bn=+(n-1)•=n．即数列{bn}的通项公式为bn=n．

（Ⅲ）要使g（n）≥m（m∈R）对任意n＞1，n∈N*都成立，只须m≤[g（n）min].，∴g(n+1)-g(n)=2(+-)=＞0，∴g（n）是增的，

∴[g(n)]min=g(2)=2•(+)=，

∴m的最大值为．

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