热门试卷

（1）设x≤-2则-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x），

又∵y=f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），

所以  f（x）=（-x-2）（a+x）…（3分）

（2）设f（x）-m的零点从左到右依次为x1，x2，x3，x4，即y=f（x）与y=m交点有4个，

（Ⅰ）a≤2时，，解得x1=-，x2=-，x3=，x4=，

所以a≤2时，m=f（）= …（5分）

（Ⅱ）2＜a＜4且m=时，可得(-1)2＜，解得-+2＜a＜+2，

所以当2＜a＜+2时，m=…（7分）

（Ⅲ）当a=4时m=1时，符合题意…（8分）

（IV）a＞4时，m＞1，，可解得x4=，

此时1＜m＜(-1)2，所以 a＞，或a＜（舍去）

故a＞4且a＞时，m=-时存在   …（10分）

综上：①a＜+2时，m=；

②a=4时，m=1

③a＞时，m=-符合题意       …（12分）

（1）∵a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*），∴=+，-=．…（3分）

∴数列{}是以为首项，公差为的等差数列，且=+(n-1)．…（5分）

∴an=n•2n-1（n∈N*）．…（6分）

（2）设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则bn=b1+（n-1）d（n∈N*）．…（7分）

考察等差数列，易知：b1+bn+1=b2+bn=b3+bn-1=…=bn+1+b1．

又 b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn-1+bn-1Cnn-2+…+b1Cn0=an+1，

两式相加，利用组合数的性质Cnm=Cnn-m化简，得（b1+bn+1）（Cn0+Cn1+…+Cnn）=2an+1，即b1+bn+1=2n+2．…（10分）

再分别令n=1，n=2，得，进一步可得．…（11分）

因此，满足题设的等差数列{bn}的通项公式为bn=2n-1（n∈N*）．…（12分）

（3）结论：

存在正常数M（只要M＞6即可）使得+++…+＜M对n∈N*恒成立．（13分）

证明　由（2）知，bn=2n-1，于是，cn=n（2n-1），==．…（14分）

记A=++…+，则A=+++…++，A=+++…++．此两式相差，得A=++++…+-．进一步有A=6--＜6．…（18分）

所以，当且仅当正常数M＞6时，+++…+＜M对n∈N*恒成立．

（1）由，解得f（1）=2，f（2）=3．

所以f（2n+1）-f（2n-1）=[f（2n+1）-f（2n）]+[f（2n）-f（2n-1）]=3+1=4，

所以f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N+）成等差数列，公差为4．

（2）当x为奇数时，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=+2=2x，

当x为偶数时，f（x）=[f（x）-f（x-1）]+[f（x-1）-f（x-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=•1+•3+2=2x-1

所以f（x）=．