热门试卷

（本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查方程思想以及运算求解能力．）

解：（1）设等差数列的公差为，则．………………………………………1分

由已知，得………………………………………………………………………3分

即解得…………………………………………………………………………5分

所以（）．………………………………………………………………6分

（2）假设存在、，使得、、成等比数列，

则．……………………………………………………………………………………………7分

因为，…………………………………………………………………………………8分

所以．

所以．……………………………………………………………………………9分

整理，得．…………………………………………………………………………10分

以下给出求，的三种方法：

方法1：因为，所以．………………………………………………………11分

解得．……………………………………………………………………………12分

因为，

所以，此时．

故存在、，使得、、成等比数列．……………………………………………14分

方法2：因为，所以．…………………………………………………11分

即，即．

解得或．………………………………………………………………12分

因为，

所以，此时．

故存在、，使得、、成等比数列．……………………………………………14分

方法3：因为，所以．……………………………………………11分

即，即．

解得或．…………………………………………………12分

因为，

所以，此时．

故存在、，使得、、成等比数列．……………………………………………14分

略

（1），

（2）对任意，

解：（1）据条件得    ①

当时，由，即有，

解得．因为为正整数，故．

当时，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

因为时，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

1当，时，由（1）知均成立；

2假设成立，则，则时

由①得

即　　　　　                     　②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则．于是　　　　③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则　　　　④

据③④，即时，成立．

由1，2知，对任意，．

（1）（2）（3）

（1）解：当时，有，

由于，所以．

当时，有，

将代入上式，由于，所以．

（2）解：由于，                    ①

则有．              ②

②－①，得，

由于，所以．                   ③

同样有，                        ④

③－④，得．

所以．

由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．

故．

（3）解：由（2）知，则．

所以

．

∵，∴数列单调递增．

所以．

要使不等式对任意正整数恒成立，只要．

∵，∴．

∴，即．

所以，实数的取值范围是．